Ejercicio planos varias variables numero 8

Lo primero es hallar la ecuación paramétrica de la curva

x^2 + y^2 = 25

z^2 + y^2 = 10

Parametrizamos haciendo y=t

x = +- sqrt(25-t^2)

z = +- sqrt(10-t^2)

Como nos dicen que pasa por (4,3,1) se toman las de signo + y la curva será

r(t) = (sqrt(25-t^2) , t , sqrt(10-t^2))

y el t que corresponde al punto (4,3,1) es t=3

debemos hallar vectores en la misma dirección que la tangente, binormal y normal

r'(t) tiene la dirección de la tangente

r'(t) = (-t/sqrt(25-t^2) , 1 , -t/sqrt(10-t^2))

r'(3) = (-3/4, 1, -3) paralelo a (3, -4, 12)

El plano perpendicular al vector tangente es el plano normal

plano normal: 3(x-4) - 4(y-3) + 12(z-1) = 0 ; 3x - 4y + 12z - 12 = 0

El vector binormal es paralelo al producto vectorial r'(t) x r''(t)

La derivada del vector tangente es algo complicada de escribir y simplificar sobre todo, escribo directamente la respuesta

r''(t) = (-25/(25-t^2)^(3/2) , 0 , -10/(10-t^2)^(3/2))

r''(3) = (-25/16^(3/2) , 0 -10) = (-25/64, 0, -10)

y el producto vectorial paralelo al binormal es

| i j k |

|-25/64 0 -10 | = 40i + (-30+12·25/64)j + (25/16) k =

| 3 -4 12 |

= -40i - (405/16)j + (25/16)k

que es paralelo a (640, 405, -25)

y es paralelo a (128, 81, -5)

y el vector binormal es perpendicular al plano osculador

plano osculador: 128(x-4) + 81(y-3) -5(z-1) = 0 ; 128x + 81y - 5z -750 = 0

El vector normal es paralelo al producto vectorial del binormal por el tangente

| i j k |

| 128 81 -5 | = (81·12-4·5)i +(-5·3-128·12)j +(-4·128-81·3)k =

| 3 -4 12|

952i - 1551j - 755k

Y el plano rectificante es perpendicular al normal

Plano rectificante: 952(x-4) - 1551(y-3) -755(z-1) = 0

952x - 1551y - 755z +1600 = 0

Y eso es todo. No tengo ni conozco programa que sirva para hacer esto, luego no te puedo asegurar que estén bien hechas las cuentas, es fácil equivocarse.

Y eso es todo.