Diferenciación de funciones de varias variables.

Sea h = (f + g): I de R -----> R^n

La definición de derivada de un camino es

$$\begin{align}&f'(t)= \lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\\ &\\ &\text{con esto}\\ &\\ &h'(t)=(f+g)'(t)=\lim_{h \to 0} \frac{(f+g)(t+h)-(f+g)(t)}{h}=\\ &\\ &\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)+g(t+h)-f(t)-g(t)}{h}=\\ &\\ &\lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}+\lim_{h\to 0}\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\\ &\\ &f'(t) + g'(t)\end{align}$$

El producto vectorial es un producto que solo existe en R^3 su definición es

$$\begin{align}&(x_1, y_1, z_1) \times (x_2, y_2, z_2) = \\ &(y_1z_2 - y_2z_1,\quad x_2z_1 - x_1z_2,\quad x_1y_2 - x_2y_1)\end{align}$$

Con lo cual aplicando la regla de la derivada del producto de funciones reales tenemos

$$\begin{align}&[(x_1, y_1, z_1) \times (x_2, y_2, z_2)] ' =\\ &\\ &(y_1'z_2+y_1z_2'-y_2'z_1-y_2z_1', \\ &x_2'z_1+x_2z_1'-x_1'z_2-x_1z_2', \\ &x_1'y_2+x_1y_2'-x_2'y_1-x_2y_1') =\\ &\\ &(y_1z_2' - y_2z_1',\quad x_2z_1' - x_1z_2',\quad x_1y_2' - x_2y_1')+\\ &(y_1'z_2 - y_2'z_1,\quad x_2'z_1 - x_1'z_2,\quad x_1'y_2 - x_2'y_1)=\\ &\\ &(x_1,y_1,z_1)\times(x_2',y_2',z_2')+(x_1',y_1',z_1')\times(x_2,y_2,z_2)\\ &\\ &\end{align}$$

Parece que no se ve nada pero si se hace a mano se entiende. No he puesto la t porque ya solo faltaba eso para hacerlo más ininteligible.

Y eso es todo.