Ejercicio de integral de funciones trigonométricas

Antes de nada comentaré que la sec^2(x) es la derivada de la tangente. Lo digo porque hay gente como yo que toda la vida ha usado 1 + tg^2(x) como derivada de la tangente

Entonces queda bien claro que el cambio que tenemos que hacer es

t=tg(x) y nos quedará

dt = sec^2(x) dx

$$\begin{align}&\int \frac{dt}{1-t^2}=\int \frac{dt}{(1+t)(1-t)}=\\ &\\ &\int \left(\frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}\right)dt=\\ &\\ &\\ &\int \frac{(b-a)t+a+b}{1-t^2}dt\\ &\\ &\text{De la igualdad entre primero y último se deduce}\\ &\\ &b-a=0\\ &a+b=1\\ &\\ &2b=1\\ &b = 1/2\\ &a=1/2\\ &\\ &\text{Y descomponemos la integraal en estas dos}\\ &\\ &\int \frac{\frac 12 dt}{1+t} + \int \frac{\frac 12 dt}{1-t}=\frac 12\left( ln|1+t|-ln|1-t| \right)+C\\ &\\ &\\ &\text{Deshacemos el cambio y queda}\\ &\\ &\frac 12\left( ln|1+tg x|-ln|1-tgx| \right)+C\end{align}$$

Y eso es todo.