Límite del término general de una serie

Las series las llevo bien, o eso pienso, pero no soy capaz de decidirme por una opción claramente. Gracias por atenderme!

Si

$$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$$

es convergente, su límite es:

A)

$$\frac{3a_{0}+a_{1}}{4}$$

B)

$$\frac{a_{0}+2a_{1}}{3}$$

C)

$$\begin{align}&\\ &\frac{a_{1}+2a_{0}}{3}\end{align}$$

D)

$$\begin{align}&\\ &\frac{a_{0}+3a_{1}}{4}\end{align}$$
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1 Respuesta

5.854.000 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Veamos como se van generando los términos:

$$\begin{align}&a_2 = \frac{a_0+a_1}{2}\\ &\\ &a_3 = \frac{a1+\frac{a_0+a_1}{2}}{2} = \frac{a_0+3a_1}{4}\end{align}$$

Ya vemos que en cada término nuevo el denominador es el doble del anterior. La simplificación para calcular es tomar 2 veces el numerador antepenúltimo, sumarle el penúltimo y poner el doble del denominador. Asi podemos calcular más fácilmente los siguientes y lo haré todo mentalmente en un solo paso.

$$\begin{align}&a_4=\frac{3a_0+5a_1}{8}\\ &\\ &\\ &a_5=\frac{5a_0+11a_1}{16}\\ &\\ &\\ &a_6=\frac{11a_0+21a_1}{32}\\ &\\ &\\ &a_7=\frac{21a_0+43a_1}{64}\end{align}$$

Depende del nivel de estudios que tengas. Si es bajo sería ver que el término en x1 se aproxima al doble del de x0 y entre los dos suman el denominador

con lo q

Ya ha pasado otra vez que se ha revelado la página y se mandó la respuesta antes de hora. Espera que la termine de responder.

Pues decía que de acuerdo con que el coeficiente de x1 tiende al doble que el de x0 y entre los dos suman el denominador la respuesta será la B

$$\frac{a_0+2a_1}{2}$$

Si los estudios son superiores puedes dividir el termino general en la parte de x0 y la de x1

Ambas cumplen la ecuación de recurrencia

$$\begin{align}&a_n = a_{n-1}+a_{n-2}\\ &\\ &\text {Cuyo polinomio característico es: }\\ &x^2-x-2\\ &\\ &\text{Y sus raices son:}\\ &\\ &x_1=2 \\ &x_2=-1\\ &\\ &\text{La solución general de los coeficientes es:}\\ &C_n(x_0)= \alpha 2^n + \beta (-1)^n\\ &C_n(x_1)= \alpha 2^n + \beta (-1)^n\\ &\\ &\text{Los coeficientes iniciales que nos ayudan a resolver son:}\\ &C_2(x_0) = 1 \; ; C_3(x_0) = 1\\ &C_2(x_1) = 1 \; ; C_3(x_1) = 3\\ &\\ &\text{Resolviendo las ecuaciones lineales:}\\ &2^2 \alpha+(-1)^2 \beta=1\\ &2^3 \alpha+(-1)^3 \beta=1\\ &\\ &\text{tendremos}\\ &\alpha =\frac{1}{6} \; ; \; \beta=\frac{1}{3}\\ &\\ &C_n(x_0) = \frac{1}{6}2^n+\frac{1}{3}(-1)^n\\ &\\ &\text {Y resolviendo:}\\ &2^2 \alpha+(-1)^2 \beta=1\\ &2^3 \alpha+(-1)^3 \beta=3\\ &\\ &\text{tendremos}\\ &\alpha =\frac{1}{3} \; ; \; \beta=-\frac{1}{3}\\ &\\ &C_n(x_1) = \frac{1}{3}2^n-\frac{1}{3}(-1)^n\\ &\\ &\\ &\text {Cuando }n \to \infty,\; (-1)^n \text{ es despreciable frente a }2^n\\ &\\ &\\ &\text{Y el limite del termino general es:}\\ &\\ &a_n= \frac{\frac{1}{6}2^nx_0+\frac{1}{3}2^nx_1}{2^{n-1}}=\frac{1}{6}2x_0+\frac{1}{3}2x_1=\frac{x_0+2x_1}{3}\end{align}$$

Luego la respuesta es la B.

Si no has entendido nada de esto último no te preocupes, es porque no has estudiado Análisis Numérico, quédate con lo anterior y es suficiente. Pero si lo has estudiado las ecuaciones en diferencias (o de recurrencia) te sonará y espero que lo hayas entendido. No di algunos pasos porque se supone que con ese nivel de estudios puedes seguirlo.

La segunda opción que explicas se escapan a mis conocimientos, y la primera creo que hay que tener mucho manejo y experiencia en series para verlo tal y como lo explicas, pero lo he entendido muy muy bien y como siempre un 10!

Muchísimas gracias y espero no hacerme muy pesado, pero es que no encuentro nadie que responda mis dudas y en el tablón tampoco me dan solución. Intentaré no abusar, pero con explicaciones así va a ser difícil evitarlo.

Saludos!

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