Demostración de limite

Perdona por la tardanza. En realidad la pregunta hace días que la tengo resuelta pero no me gustaba mucho, pero estoy viendo que no se puede hacer más sencillo, hay que tener muy clara la definición de límite para entenderla.

Las definiciones de límite son

$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}f(x) =L \iff\\ &\forall\epsilon \gt0, \exists\delta\gt0:\; 0\lt|x-x_0|\lt; \delta \rightarrow|f(x)-L|\lt\epsilon\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L \iff\\ &\forall\epsilon\gt0, \exists\delta\gt0 :0\lt|h|\lt\delta\rightarrow| f(x_0+h)-L|\lt \epsilon\end{align}$$

Demostramos que el primero implica el segundo

$$\begin{align}&\text{Supongamos }\lim_{x\to x_0}f(x)=L\\ &\\ &dado\; \epsilon \gt 0\; tomamos\; el\; \delta\gt0 \text{ que hace que si}\\ &\\ &0\lt|x-x_0|\lt;\delta \rightarrow|f(x)-L|\lt \epsilon\\ &\\ & \text{entonces si }0\lt|h|\lt\delta\text{ tendremos}\\ &\\ & 0\lt|h|=|x_0+h-x_0|\lt \delta\\ &\\ &\text{luego esos puntos }x_0+h=x \text{ cumplen}\\ &\\ & 0\lt|x-x_0|\lt\delta\\ &\\ &\text{y por tanto se cumple}\\ &\\ &|f(x)-L|\lt\epsilon\\ &\\ &\text{como esos puntos son }x=x_0+h\\ &\\ &|f(x_0+h)-L|\lt;\epsilon\implies \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L\\ &\end{align}$$

Y ahora demostraremos que el segundo implica el primero. Pero esta vez lo haremos por reducción al absurdo por si lo ves más claro

$$Sea \lim_{h\to 0}f(x_0+h)=L\\ \\ \text{y supongamos que }\lim_{x\to x_0}f(x)\neq L\\ \\ \text {entonces existe un }\epsilon\gt0 \text { tal que}\\ \\ \forall \delta\gt 0,\exists x \;con\;0\lt|x-x_0|\lt;\delta\\ \\ \text{tal que }|f(x)-L|\ge\epsilon\\ \\ hagamos\; x=x_0+h\\ \\ \text{entonces lo anterior queda traducido a}\\ \\ \exists \epsilon\gt 0 \text{ tal que}\\ \\ \forall \delta\gt0, \exists h\neq0\; con\;|x_0+h-x_0|=|h|\lt;\delta\\ \\ \text{tal que } |f(xo+h)-L|\ge \epsilon  \implies\\ \\ \lim_{h\to 0}f(x_0+h)\neq L$$

Lo cual es absurdo porque contradice la hipótesis d partida. luego lím x->xo de f(x)=L

Y eso es todo.