Distribuciones de probabilidad multivariantes, 5.6 teoremas especiales.

5.83)

La esperanza va a ser este sumatorio:

$$\begin{align}&E(Y)=\sum_{i=0}^{\infty} \frac{i}{2^{i+1}}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i}{2^{i+1}}=\\ &\\ &\text{Se puede descomponer en varios sumatorios con}\\ &\text{numerador constante que eso es lo que fastidia}\\ &\\ &\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^{i+1}}+\sum_{i=2}^{\infty} \frac{1}{2^{i+1}}+\sum_{i=3}^{\infty} \frac{1}{2^{i+1}}+ ...\\ &\\ &\\ &\text{Cada uno de ellos es la suma de una progresión}\\ &\text{geométrica de razón 1/2 cuya fórmula es:}\\ &\\ &S_{\infty}= \frac{a_1}{1-r}\\ &\\ &\\ &\\ &E(Y)=\frac {1/4}{1-1/2}+\frac {1/8}{1-1/2}+\frac {1/16}{1-1/2}+...=\\ &\\ &\\ &\frac 12 + \frac 14+ \frac 18+ ...=1\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.