Para que valores de por es válida la fórmula de aproximación

Se puede hacer de dos formas.

La primera es tomando como error el termino siguiente, la otra es tomar el termino siguiente como parte del desarrollo porque como es nulo la aproximación es la misma y tomar como término del error el siguiente. Es que me parece que con la primera forma es difícil acotar el error, pero vamos a probarlo porque el caso general se resuelve así.

Las derivadas de coseno son

f'(x) = -senx

f''(x) = - cosx

f'''(x) = senx

y el termino del error (o resto) será

R(x) = sena · x^3 / 6

con a € (0,x) si x es positivo o a € (x,0) si x es negativo.

Debemos hacer que el valor absoluto de R(x) sea menor que 0.0001. Si x es positivo y no muy grande tanto el seno como x^3 son positivos y no hace falta poner el módulo.

El seno es creciente de 0 a un punto x>0 luego el mayor valor posible para sena será en el extremo derecho

x^3 también tomará su mayor mayor valor en el extremo derecho.

Debemos hallar los x tal que

(Senx · x^3) / 6< 0.0001

x^3·Senx < 0.0006

Y he ahí lo que te decía sobre la dificultad de calcular ese x, se necesitan métodos como el de Newton-Raphson que probablemente no has estudiado.

Resolviendo la ecuación con el ordenador para poder comparar con el que hagamos a mano obtenemos

x=0.156668734288173...

Cuando x es negativo el termino de error es el mismo exactamente

senx · x^3 = sen(-x)·(-x)^3

Luego el extremo izquierdo es el mismo

El intervalo donde la aproximación seria menor que 0.0001 es

(-0.156668734288173, 0.156668734288173)

Y el método que podremos hacer a mano se obtiene añadiendo al polinomio de Maclaurin el termino siguiente. Como la derivada tercera del coseno es el seno y el sen(0) = 0 no se añade nada en la práctica al desarrollo pero se ha añadido. Entonce el término de error es el de la derivada cuarta.

f ''''(x) = cosx

R(x) = (cosa · x^4) / 24

Ahora el coseno es decreciente desde 0 hacia la izquierda o hacia la derecha luego el mayor valor que puede tomar cosa es 1, con lo cual lo que debemos calcular es un x tal que

x^4 / 24 < 0.0001

x^4 < 0.0024

x < 0.0024^(1/4) = 0.2213363839

Luego el intervalo pedido y resuelto con métodos asequibles es

(-0.2213363839, 0.2213363839)

Puede sorprender la gran diferencia entre calcularlo de una forma u otra. Pero es normal, la cota del error se estima a veces con muy poca precisión ya que sustituimos a por el punto donde la derivada es máxima y puede que el valor a del resto no sea el que da la derivada más grande.

Vamos a calcular el auténtico intervalo

cosx - 1 + x^2/2 < 0.0001

Cosx + x^2/2 < 1.0001

Veamos primero que la función de la izquierda es creciente de 0 hacia arriba

g'(x) = senx + x

Es positiva en cierto intervalo con amplitud superior a Pi y donde g será creciente

Ahora calculamos con el ordenador la respuesta a

cosx + x^2/2 - 1.0001=0

x = 0.221427

El intervalo real es (-0.221427, 0.221427)

Pues el intervalo obtenido con el segundo método era bastante preciso.

Y eso es todo.