Difierenciabilidad

No entiendo exactamente cual es la pregunta. En tu libro a apuntes tendría que figurar esa condición suficiente, pues condiciones suficientes puede haber varias y si no sabemos cuál es a lo mejor usamos la que no era.
En
http://www2.uah.es/fsegundo/calcTeleco/esquemas/180-Diferenciabilidad.pdf
aparece esta condición suficiente de diderenciabilidad:
Sea z = f(x; y) una función de dos variables, y p = (x0; y0) un punto en el que queremos
Demostrar que f es diferenciable. Si se puede encontrar una bola B(p; r) tal que las dos derivadas parciales
&f/&x
&f/&y
existen y son continuas en todos los puntos de la bola, entonces f es diferenciable en p.
Creo que con esto ya puedes resolver el problema.
f2(x,y) = (x^2 + 1) / (y^2 + 1) si (x,y)<>(0,0)
f2(0,0) = 1
Si (x,y)<>(0,0) tenemos
&f2(x,y)/&x = 2x / (y^2 + 1)
Si (x,y)=(0,0)
&f2(0,0)/&x = lim h--> 0 de [(h^2 + 1)/(0^2 + 1) - 1] / h = lim h-->0 de (h^2 +1-1) / h =
lim h-->0 de h = 0
Y la parcial respecto a por existe en una bola de radio menor que 1 del punto (0,0) y es continua fuera del (0,0) por ser una función elementalmente continua y en el (0,0) porque el límite de la derivada sería
2 · 0 / (0^2+1) = 0
que es el valor real de la derivada en ese punto.
Veamos ahora qué sucede con la parcial respecto a y
Si (x,y)<>(0,0)
&f2(x,y)/&y = (x^2 + 1)(-2y) / (y^2 + 1)^2
Si (x,y)=0
&f2(x,y)/&y = lim h-->0 de [(0^2 + 1) / (h^2 + 1) - 1] / h =
lim h-->0 de [1/(h^2+1) -1] / h = lim h-->0 de [(1 - h^2 -1)/(h^2 + 1)] / h =
lim h-->0 de -h /(h^2+1) = 0
En este caso la parcial respecto de y existe para cualquier bola, es continua siempre por ser función elementalmente continua con denominador nunca nulo y en (0,0) es continua esta parcial porque su límite es (0^2 + 1)(-2·0)/(0^2+1)^2 = 0/1 = 0 que ecoincide con su valor real.
Resumiendo, que tomando una bola con centro (0,0) de radio menor que 1 se cumplen las condiciones de teorema de suficiencia y por tanto f2 es diferenciable en (0,0)