Un problema matemático

El numeral xy es 10x+y

Y el numeral yx es 10y+x

Supondremos x>y

Ya que x=y no sirve, el MCD sería 11, 22, 33 que es bastante mayor siempre que la suma de las cifras.

10x+y = a(x+y)

10y+x = b(x+y)

sumamos ambas

11x+11y = (a+b)(x+y)

11(x+y) = (a+b)(x+y)

11= a+b

Como x>y se deduce a>b

Y si las restamos tenemos

9x-9y = (a-b)(x+y)

La parte derecha debe ser múltiplo de 9, eso nos da tres condiciones

Si a-b es múltiplo de 9 entonces x+y puede ser como quiera

Si a-b es solo múltiplo de 3 entonces x+y debe ser múltiplo de 3

Si a-b no es múltiplo de 3 entonces x+y debe ser múltiplo de 9, en realidad x+y=9 ya que si es 18 nos da el 99 que no sirve.

Las posibilidades son

1) a=10, b=1

Como a-b=9 entonces x+y puede ser de cualquier forma, Los números los calculará siendo el primero a(x+y), esto nos da las parejas de números

(10,1) , (20,2), (30,3), (40,4), (50,5), (60,6), (70,7), (80,8), (90,9)

Que no se si serán admitidas por ser cero la primera cifra de los segundos números, pero las pongo por si acaso

2) a=9, b=2

Como a-b=7 debe ser x+y=9, entonces la pareja es

(81, 18) cuyo mcd es 9 y vale

3) a=8, b=3

Como a-b=5 debe ser x+y=9 y la pareja de números es

(72,27) cuyo mcd es 9 y sirve

4) a=7, b=4

a-b=3, entonces x+y puede valer 3, 6, 9, 12 o 15 y salen estas parejas

(21, 12) cuyo mcd es 3 luego vale

(42, 24) cuyo mcd es 6 luego vale

(63, 36) cuyo mcd es 9 luego vale

(84,48) cuyo mcd es 12 luego vale

El 15 no sirve pues da 106

5) a=6, b=5

Como a-b=1 debe ser x+y=9 y la pareja que sale es

(54, 45) cuyo mcd es 9 y vale.

Y esas son todas la parejas posibles.

yo tengo esta solución pero no la entiendo muy bien:

MCD (xy;yx) = x+y
xy = MCD * p
yx = MCD *q
restando:
9(x-y) = MCD(p-q)

9(x-y) = (x+y) * (p-q)
comparando:
(x+y) = 9
xy = 54,63,72,81

Pues no sé como han hecho esa comparación, pero la han hecho mal porque no les sale el 21 ni el 42 que son perfectamente válidos.

9(x-y) = (x+y)(p-q)

Lo único que podemos usar es que la parte derecha debe ser múltiplo de 9, y eso se consigue de tres formas, no solo de una como lo hicieron.

1) x+y = 9 (ya que descartamos el 18 por ser xy = 99 que no sirve)

2) p-q = 9 (nos da los casos (p=10, q=1) ,(p=11, q=2), etc. Aquí no han tenido en cuenta lo que hice yo sumándolas que daba p+q=11, con lo cual solo sirve p=10 y q=11

3) (x+y)= 3, 6 y (p-q)=3, 6 que nos da esos casos que faltan con el 21 y 42.

Las comparaciones deben hacerse bien.

Y eso es todo.

pero ni el 21 ni el 42 sus cifras suman 9

Es que nadie ta ha dicho que las cifras tengan que sumar 9. Te han dicho que el mcd debe ser la suma de las cifras. No te han dicho otrta cosa.

El mcd(21,12) = 3 que es la suma de las cifras

El mcd(42, 24) = 6 que es la suma de las cifras.

Si (x+y)(p-q) debe ser múltiplo de 9 basta con que uno de los factores sea múltiplo de 9 o bien con que los dos sean múltiplos de 3.

pero con los números

xy = 54,63,72,81

cumplen con el problema, si desea puede

reemplazar en la pregunta original

Espera que aun queda otro número el 51

Cuando yo decía

11x+11y = (a+b)(x+y)
11(x+y) = (a+b)(x+y)
11= a+b

En realidad no era solo eso, también podía ser

a+b = 11 o 22 o 33 o 44

El número mayor lo calcularemos así

a(x+y)

Los tres casos anteriores son:

1) Si a-b es múltiplo de 9 entonces x+y puede ser cualquier número menor que 18

a=10, b=1

10,20,30,40,50,60,70,80,90 y sus respectivos 01,02,03,04,05,06,07,08,09

a=20, b=2

no aporta ningún número nuevo ya que son 20,40,60,80

2) Si a-b es múltiplo de 3 pero o de 9 entonces x+y debe ser múltiplo de 3

a=7 b=4

x+y puede valer 3,6,9,12

21, 42, 63, 84 con sus respectivos transpuestos 12,24,36,48

a=20,b=2

ya vimos antes que no aportaba ninguno nuevo

a=17, b=5

x+y puede valer 3, con el 6 ya se pasa

51

a=14, b=8

x+y puede valer 3 y 6

no aporta nada nuevo ya que 42, 84 ya estaban

3) Si a-b no es múltiplo de 9 debe serlo x+y

Eso significa que a puede valer como mucho 10

a=10

Obtenemos el 90 que ya estaba

a=9

81

a=8

72

a=6

54

Resumiendo, los numerales xy, tomando solo los que la primera cifra es la mayor que la segunda, tales que el mcd(xy, yx) = x+y son:

Los discutibles 10,20,30,40,50,60,70,80,90

Los indiscutibles 21, 42, 51, 54, 63, 72, 81, 84

El problema es tal como está escrito y las soluciones son todas estas, si das menos soluciones no has resuelto bien el problema.

Si el problema dijera que las cifras tienen que sumar 9 sería un problema apenas sin interés.

Y eso es todo.

en conclusión cual seria el total de números que cumplen con el problema

Si se admite que la primera cifra de xy o yx pueda ser 0 son 17

Si no se admite eso son 8