La siguiente expresión c(t) = -1/4 t^2+13t+40

La siguiente expresion c(t)= -1/4t^2+13t+40 representa la cantidad de personas que asisten a un centro de salud, despues de "t" dias en que empieza una campaña nacional de vacunacion.

a) Cual es el dia en el que asisten mas personas?

b) cual es la cantidad maxima de personas que asisten en un dia?

c) cuanto tiempo dura, aproximadamente, la campaña de vacunacion?

d) que dia/s asisten 145 personas al centro de salud?

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a) Los máximos o mínimos relativos se calculan igualando a cero la derivada primera

c'(t) = - (1/2)t + 13 = 0

-(1/2)t = -13

t = 13 / (1/2) = 26

para que sea máximo la derivada segunda en ese punto debe ser negativa

c''(t) = -(1/2)

es negativa, luego es máximo

El día que más gente asiste es el 26

b) El dia que más asisten es el 26 luego evaluamos la gente ese día

c(26) = -(1/4)26^2 + 13·26 + 40 = -169 + 338 + 40 = 209 personas

c) Se supone que la campaña acabára cuando vayan 0 persosnas

-(1/4)t^2+13t+40 = 0

multiplicamos por -4 para facilitar la cuentas

t^2 - 52t -160 = 0

$$\begin{align}&t=\frac{52\pm \sqrt{52^2+4·160}}{2}=\\ &\\ &\frac{52\pm \sqrt{2704+640}}{2}= \frac{52\pm57.8273}{2}=\\ &\\ &-2.91365 \;y\;54.91365\end{align}$$

Luego el calendario será desde el diá cero hasta casi el 55 días después, serán 55 días aproximadamente.

d) debemos igualar la función a 145 y despejar t

-(1/4)t^2+13t+40 = 145

-(1/4)t^2 + 13t - 105 = 0

multiplicamos por -4

t^2 - 52t + 420 = 0

$$\begin{align}&t=\frac{52\pm \sqrt{52^2 -4·420}}{2}=\\ &\\ &= \frac{52\pm \sqrt{2704-1680}}{2}=\frac{52\pm 32}{2}=\\ &\\ &10\; y\; 42\end{align}$$

Los días que van 145 peronas son el 10 y el 42

Y eso es todo.

Una pregunta en esta parte del problema a) Los máximos o mínimos relativos se calculan igualando a cero la derivada primera
c'(t) = - (1/2)t + 13 = 0
-(1/2)t = -13
t = 13 / (1/2) = 26

porque se tiene que poner el 1/2? De donde sale ese 1/2?

Es por agilizar un poco, el matemático tiene que aprender a dar dos pasos de vez o más cuando está seguro de que lo hace bien.

Hecho con todos los pasos sería

c(t)= -(1/4)t^2+13t+40

c'(t) = -(1/4)2t + 13 = -(2/4)t + 13 = -(1/2)t + 13

Y eso es todo.

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