Halle las series de potencia de la siguiente función

Esto no me suena haberlo hecho. ¿Podrías decirme el libro que usáis por favor?

Por el método que prefieras se hallan las raíces del denominador que son 1 y -2

x^2+x-2 = (x-1)(x+2)

Vamos a poner la función como suma de fracciones elementales

$$\begin{align}&\frac{3}{x^2+x-2}= \frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(x+2)+b(x-1)}{(x-1)(x+2)}\\ &\\ &3=a(x+2)+b(x-1)\\ &\\ &para\;x=-2\implies 3=-3b\implies b=-1\\ &para\;x=1\implies 3=3a\implies a=1\\ &\\ &luego\\ &\\ &\frac{3}{x^2+x-2}= \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}=\\ &\\ &-\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-(-1-x)}=\\ &\\ &-\sum_{n=0}^\infty [x^n+(-1-x)^n]\end{align}$$

Una vez puesta como funciones elementales hemos usado que la serie geométrica tiene una suma conocida

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

y hemos puesto nuestras fracciones de la misma forma que esa suma

$$\begin{align}&\frac{1}{1-g(x)}\\ &\\ &\\ &\text{para poder decir}\\ &\\ &\frac{1}{1-g(x)}=\sum_{n=0}^{\infty}[g(x)]^{\,n}\end{align}$$

Y eso es lo que he hecho, no sé si los resolvéis de esta forma y si ya está todo. Si como te pido me dices el libro podría hacerlo más parecido a como lo hacéis.