Criterio de la segunda derivada

Se entiende perfectamente la función que quieres expresar, pero esta mal expresada. Si tu le escribes esta función a un ordenador te va a tomar una distinta.

x^2 lo quieres dividir por (1+x) pero tal como lo tienes escrito solo lo divides por 1 y luego sumas x. La expresión correcta es:

f(x) = ln[x^2 / (1+x)]

$$\begin{align}&f´(x)=\frac{1}{\frac{x^2}{1+x}}·\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\\ &\\ &\frac{1}{x^2}·\frac{2x+2x^2-x^2}{(1+x)}=\frac{x^2+2x}{x^2(1+x)}\\ &\\ &\\ &=\frac{x+2}{x(1+x)}=\frac{x+2}{x^2+x}= 0\\ &\\ &\\ &x+2=0\\ &x= -2\\ &\\ &f´´(x)=\frac{x^2+x-(x+2)(2x+1)}{(x^2+x)^2}=\\ &\\ &\frac{x^2+x-2x^2-x-4x-2}{(x^2+x)^2}= \frac{-x^2-4x-2}{(x^2+x)^2}\\ &\\ &f´´(-2)=\frac{-4+8-2}{4}=\frac 12\;positivo\\ &\\ &\text{Luego x=-2 es un mínimo}\end{align}$$

Pero espera, la función no esta definida en x=-2 porque sale el logaritmo neperiano de algo negativo. La función esta definida para x€(-1, oo). Luego entonces no vale ese mínimo que calculamos.

No se si habrás dado ya los puntos críticos, son aquellos donde la derivada no existe. También deben tenerse en cuenta para calcular los máximos o mínimos absolutos. En el punto x=0 no hay derivada y el valor de la función tampoco existe tiende a -oo luego no hay mínimo absoluto.

Y también se tiene que tener en cuenta los extremos de los intervalos donde se calcula el máximo-mínimo. En este caso tenemos un extremo en -1 donde la función no existe pero tiene a +oo luego tampoco hay máximo absoluto.

Y eso es todo.