Ejercicio de curvatura 5

Llamare r(t) a la curva para poder escribirla más fácil

r(t) = (t^3-3t , t^2+t , 3t)

r'(t) = (3t^2-3 , 2t+1 , 3)

r''(t) = (6t , 2 , 0)

r'(t) x r''(t) = -6i + 18tj + (6t^2-6-12t^2-6t)k = -6i +18tj - 6(t^2+t+1)k

||r'(t) x r''(t)|| = 6 sqrt[1+9 +(t^2+t+1)^2] = 6 sqrt[10+(t^2+t+1)^2]

||r'(t)||^3 = (sqrt[(3t^2-3)^2+(2t+1)^2 + 9])^3

Como lo único que nos piden es el valor en un punto no haremos más operaciones, que además tampoco vamos a conseguir simplificar nada.

Y la curvatura es el cociente de estas dos últimas cosas calculadas. Como tenemos que calcular K(1) las calculamos en t=1, el numerador será

6 sqrt(10+3^2) = 6 sqrt(19)

y el denominador

[sqrt(0^2+3^2+9)]^3 = [sqrt(18)]^3 = 18·3·sqrt(2)=54sqrt(2)

K(1) = 6sqrt(19) / [54sqrt(2)] = (1/9) sqrt(19/2)

Y eso es todo.