EnDesigualdad con valor absoluto
Tengo la siguiente ecuación:
|x-7|/|x+3|<1
Intenté primero deshaciéndome del denominador, luego partiendo la desigualdad y desarrollando por uno, pero al final no obtuve el resultado del libro que dice que el conjunto solución está en (2, infinito+).
Gracias de antemano.
Primero pasamos el denominador al otro lado. Como es positivo no hay ningún problema y permanece el mismo signo
|x-7| < |x+3|
Y esto se debe resolver en cuatro partes
a) Si x-7>0 y x+3>0
x-7 < x+3
-7 < 3
se cumple siempre luego las únicas restricciones son las de la hipótesis
x>7
x>-3
luego x>7
b) Si x-7>0 y x+3<0
x-7 < -(x+3)
x-7 < -x - 3
2x < 4
x < 2
nunca por contradicción. Ya que por hipótesis x-7>0 ==> x>7
c) Si x-7<0 y x+3>0
-(x-7) < x+3
-x+7 < x+3
-2x <-4
x>2
Se cumple en 2<x<7
d) Si x-7<0 y x+3<0
-(x-7)<-(x+3)
-x+7 <-x -3
7<-3
nunca por contradicción
e) Si x=7
0 < |x+3|
siempre salvo si x=3
luego x=7 lo cumple
Y la respuesta general es la unión de las respuestas
(7, oo) U (2, 7) U [7,7] = (2, oo)
Luego la respuesta es x>2
Y eso es todo.
