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Vamos a factorizar el denominador. Hay una raíz que es obvia
x^3-8 = 0
x^3 = 8
x=2
Y ahora dividimos por Ruffini. Aunque si conoces la igualdad ciclotómica ya sabrás que el resultado va a ser (x^2+2x+4).
1 0 0 -8
2 2 4 8
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1 2 4 |0Lo que decía, luego
x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)
Ya sabes que x^3 - 8 es el polinomio x^3 movido hacia abajo, es creciente todo el rato y solo tiene una raíz real. O si no has precavido en eso fijate que el discriminante de la ecuación
x^2+2x+4
es
2^2 - 4·4 = -12
Luego no hay más raíces reales.
Vamos a descomponer el integrando en fracciones simples
$$\begin{align}&\frac{1}{x^3-8}= \frac{a}{x-2}+\frac{bx+c}{x^2+2x+4}=\\ &\\ &\\ &\frac{a(x^2+2x+4)+(bx+c)(x-2)}{x^3-8}\\ &\\ &Luego\\ &\\ &1=a(x^2+2x+4)+(bx+c)(x-2)\\ &\\ &\text{Si hacemos x=2}\\ &1=12a\implies a=\frac {1}{12}\\ &\\ &\text{haciendo x=0}\\ &1=4a-2c = \frac{4}{12}-2c\\ &2c=-\frac{8}{12}\implies c=-\frac 13\\ &\\ &\text{haciendo x=1}\\ &\\ &1=7a -(b+c)= \frac{7}{12}-b+\frac 13\\ &b=\frac{7}{12}+\frac 13-1=\frac{7+4-12}{12}=-\frac{1}{12}\\ &\\ &\int \frac{dx}{x^3-8}=\frac{1}{12}\int \frac{dx}{x-2}+\int \frac{-\frac{x}{12}-\frac{4}{12}}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{12}\int \frac{x+4}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{24}\int \frac{2x+8}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{1}{24}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+4}dx-\frac{1}{24}\int \frac{6}{x^2+2x+4}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac{1}{24}\int \frac{6}{x^2+2x+4}dx\\ &\end{align}$$Se hace muy pesado ir arrastrando toda la expresión. La integral que queda es un arcotangente pero para poder calcularlo completaremos cuadrados lo primero
x^2+2x+4 = (x+1)^2 -1+4 = (x+1)^2 + 3
y la hacemos aparte
$$\begin{align}&\int \frac{6}{(x+1)^2+3}dx=\\ &\\ &\frac 63\int \frac{dx}{\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\ &\\ &2 \sqrt 3\int \frac{\frac{dx}{\sqrt 3}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)^2+1}=\\ &\\ &2 \sqrt 3 \;arctg\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)+C\\ &\\ &\text{Con todo esto la integral completa es}\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac{2 \sqrt 3}{24}arctg\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)+C =\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x-2|}{12}-\frac{ln|x^2+2x+4|}{24}-\frac{\sqrt 3}{12}arctg\left(\frac{x+1}{\sqrt 3} \right)+C \\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
