Falso o verdadero sobre espacios vectoriales.

I. Verdadero. Es el subespacio vectorial generado por el vector (1, -3)

II. Falso. Es falso porque el elemento nulo (0,0) no pertenece a ese conjunto y todo subespacio vectorial contiene el (0,0)

Veamos que no pertenece

(x, y) = (0, 0)

(x, -3x+1) = (0,0)

tenemos este sistema

x = 0

-3x+1 = 0

Si sustituimos el valor de x de la primera ecuación en la segunda tenemos

-3·0 + 1 = 0

1 = 0

Lo cual es absurdo y por tanto la hipótesis de que el vector nulo pertenecía al conjunto es falsa.

III. Falso. El elemento neutro del grupo formado por las matrices con la operación suma de matrices ordinaria es la matriz nula, con todo ceros. Y esa matriz no es invertible, ese conjunto no tiene el elemento neutro y por lo tanto no puede ser un grupo.

IV. Verdadero.

La operación es interna, la suma de dos matrices diagonales con los dos elementos iguales con otra matriz de ese tipo da una matriz diagonal con los dos elementos iguales.

Tiene elemento neutro porque la matriz nula es 0 por la identidad

Y todo elemento tiene su inverso porque si A es a·Id entonces -A = -a·Id

V. Falso. Estamos juntando matrices de distintos espacios vectoriales. La matriz idéntica de 2x2 no se puede sumar con la de 3x3

VIII. Falso. El elemento nulo tiene grado cero y por lo tanto no pertenece al conjunto.

Otra cosa sería si nos dijeran los polinomios de grado menor o igual que 3. Eso si es un espacio vectorial ya que la operación sería interna, habría elemento neutro e inverso.

Y eso es todo.