Desarrollar en serie de laurent

La función es analítica salvo en los puntos donde se anula el denominador.

x=0 tres veces

dividiendo por x^3

x^2 + 2x - 1 = 0

x = [-2 +- sqrt(4+4)] / 2 =

[-2 +- sqrt(8)] / 2 = -1 +- sqrt(2)

Las raíces son

-1-sqrt(2), 0, -1+sqrt(2)

Para hacernos una idea son aproximadamente

-2.414213562, 0, 0.4142135624

No me dices cual es el centro que debemos emplear para la serie. ¿Es el cero?

Descomponemos la función en fracciones simples.

$$\begin{align}&\frac Ax+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^3}+\frac{D}{x+1+\sqrt 2}+\frac{E}{x+1-\sqrt 2}\\ &\\ &1+x+x^2 =(Ax^2+Bx+C)(x^2+2x-1)+\\ &x^3[D(x+1-\sqrt 2)+E(x+1+\sqrt 2)]\\ &\\ &\text{Para x= 0}\\ &\\ &1=-C \implies C=-1\\ &\\ &\text {El coeficiente de la  x es:}\\ &\\ &-B+2C = 1\\ &-B-2 = 1\\ &B=-3\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^2 \;es\\ &-A+2B+C = 1\\ &-A-6-1 = 1\\ &A=-8\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^3\;es\\ &2A+B+D(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2) = 0\\ &-19+D(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2) = 0\\ &\\ &\text {el coeficiente de }x^4\;es\\ &\\ &A+D+E=0\\ &-8 +D+E = 0\\ &D =8-E\\ &\\ &\\ &-19+(8-E)(1-\sqrt 2)+E(1+\sqrt 2)=0\\ &\\ &E(1+ \sqrt 2-1+\sqrt 2)=19-8(1-\sqrt 2)\\ &\\ &E = \frac{11+8 \sqrt 2}{2 \sqrt 2}= \frac{16+11 \sqrt 2}{4}\\ &\\ &\\ &D = 8-\frac{16+11 \sqrt 2}{4}=\frac{16-11 \sqrt 2}{4}\\ &\end{align}$$

Verificado con Máxima que está bien:

radcan(-8/x -3/x^2 -1/x^3 +(16-11*sqrt(2))/(4*(x+1+sqrt(2)))+(16+11*sqrt(2))/(4*(x+1-sqrt(2))));

Y la respuesta que da es esta:

(x^2+x+1)/(x^5+2*x^4-x^3)

Y esto es lo que se hacer. La segunda parte tendría que estudiarla porque ahora mismo no me acuerdo si la di y si la di no me acuerdo.

Dame tiempo para estudiarlo y terminarlo o si ya tienes suficiente me lo dices. Pero no cierres la pregunta hasta que te diga, no sea que lo esté intentando y no sirviera para nada por haberla cerrado.

Y ahora hacemos el desarrollo de cada una de las 5 fracciones. Puesto que he tomado el 0 como centro de la serie los fracciones de A, B y C ya están desarrolladas, cada una tiene un simple sumando.

Vamos a desarrollar las de D y E

$$\begin{align}&\frac{4-\frac{11 \sqrt 2}{4}}{x+1+\sqrt 2}=\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{\frac{(1+\sqrt 2)(x+1+\sqrt 2)}{1+\sqrt 2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{(1+\sqrt 2)} \frac {1}{1+\frac{x}{1+\sqrt 2}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{(1+\sqrt 2)} \sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{-x}{1+\sqrt 2}\right)^n =\\ &\\ &\\ &\\ &\left(4-\frac{11 \sqrt 2}{4}\right) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{(1+\sqrt 2)^{n+1}} \; Si |x|\lt 1+\sqrt 2\\ &\\ &\\ &\text{------------------}\\ &\\ &\frac{4-\frac{11 \sqrt 2}{4}}{x+1+\sqrt 2}=\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{\frac{x(x+1+\sqrt 2)}{x}}=\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{x}\frac{1}{1+\frac{1+\sqrt 2}{x}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{4-(11/4)\sqrt 2}{x}\sum_{n=0}^{+\infty}\left( -\frac{1+\sqrt 2}{x} \right)^n =\\ &\\ &\\ &\left(4-\frac{11 \sqrt 2}{4}\right) \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1-\sqrt 2)^n}{x^{n+1}} \;\;Si |x|\gt 1+\sqrt 2\\ &\\ &\end{align}$$

Bueno, ya he hecho algo más. La fracción con E se calcula por analogía.

Ahora espero respuesta de si necesitas que continúe o ya lo puedes hacer tú.

lo demás podría hacerlo por mi misma, pero si que hay otro pregunta que dice: hacerlo para k=Z3 Y Q.