Base de un conjunto
Ayudenme con esto, es URGENTE!
Determine si el conjunto de polinomios B={1+x^3, 1-x^3, x^2+x, x^2-x} es una base de P3 (R).
el espacio de polinomios de grado menor o igual a tres sobre R.
1 respuesta
EL espacio de polinomios de grado menor o igual que 3 tiene dimensión 4 ya que su base canónica es
{1, x, x^2, x^3}
Nos dan 4 polinomios luego pueden ser una base siempre que sean linealmente independientes. Para comprobarlo pondremos las componentes en una matriz y veremos si tiene rango 4.
1 0 0 1 1 0 0 -1 0 1 1 0 0 -1 1 0
Tiene toda la pinta de que son independientes. Se puede comprobar haciendo ceros por operaciones sobre filas, a la segunda le restaremos la primera y a la cuarta le sumaremos la tercera.
1 0 0 1 0 0 0 -2 0 1 1 0 0 0 2 0
Llevamos la segúnda al final subiendo tercera y cuarta
1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 -2
Y ya tenemos hechos todos los ceros posibles debajo de la diagonal y no se conseguido ninguna fila con todo ceros. O si lo miras de otra forma el determinante es 1·1·2·(-2) = -4 que es distinto de 0.
Luego los polinomios son linealmente independientes y son una base de P3(R)
