La derivada de una función en x

Vamos a hacerlo en varias preguntas, una integral en cada una que hay alguna que ni siquiera sé si podré hacerla. Entonces hago la primera y mandas preguntas para las otras tres que este ejercicio es demasiado para una sola pregunta.

$$\begin{align}&\int_1^9 sec^5x·tg^9x\,dx= \int_1^9 \frac{sen^9x}{\cos^{14}x}dx=\\ &\\ &\int_1^9 \frac{(1-\cos^2x)^4senx}{\cos^{14}x}dx=\\ &\\ &\\ &t=cosx\quad dt=-senx\,dx\\ &x=1\implies t=\cos \,1\\ &x=9\implies t=\cos\,9\\ &\\ &=\int_{\cos\,1}^{\cos\,9}\frac{(1-t^2)^4}{t^{14}}dt=\\ &\\ &\\ &\int_{\cos\,1}^{\cos\,9}\frac{1-4t^2+6t^4-4t^6+t^8}{t^{14}}dt=\\ &\\ &\\ &\int_{\cos\,1}^{\cos\,9}(t^{-14}-4t^{-12}+6t^{-10}-4t^{-8}+t^{-6})dt=\\ &\\ &\\ &\left[-\frac{t^{-13}}{13}+\frac{4t^{-11}}{11}-\frac{6t^{-9}}{9}+\frac{4t^{-7}}{7}-\frac{t^{-5}}{5}  \right]_{\cos\,1}^{\cos\,9}\\ &\end{align}$$

ESPERA un poco, he ido a hacer la cuente con el ordenador para asegurarme que está bien y me dice que la integral es divergente. Voy a confirmarlo.

Bien, la función es periódica con periodo 2pi y tiene simetría central respecto de los puntos pi, 2pi, 3pi, etc. Cada 2pi el área de la integral es cero por ese periodo simetría.

Entonces el área entre 1 y 1+2pi el área es cero. Luego el área entre 1 y 9 es el área entre

[1+2pi, 9]

En ese intervalo hay un punto donde la función tiende a infinito es el punto 5pi/2 =7.85398...

Entonces debemos calcular la integral impropia de ese intervalo que serán dos integrales impropias, una entre

[1+2pi, 5pi/2}

y otra entre

[5,pi/2, 9]

Ya hemos calculado la expresión de la integral definida, simplemente cambiamos los límites.

En esas dos integrales impropias los valores en 1+2pi y 9 no presentan ningún problema para determinar la convergencia ya que la función primitiva tiene un valor finito en ellos, es en el punto 5pi/2 donde el coseno es 0 y hay que calcular el límite.

Llamemos F(t) a la primitiva que hemos calculado sin deshacer el cambio, debemos calcular

$$\begin{align}&\lim_{t\to 0-}F(t)-F[\cos(1+2pi)]+F(\cos\,9)-\lim_{t\to 0+}F(t)=\\ &\\ &\text{Llamando k a los dos sumandos intermedios}\\ &\text{Y haciendo un pequeño ajuste de los límites} \\ &\\ &=k+ \lim_{t\to 0+}F(-t)-\lim_{t\to 0+}F(t)=\\ &\\ &\text {como F es impar F(-t)=-F(t)}\\ &\\ &= k-2 \lim_{t\to 0+}F(t)\\ &\end{align}$$

Y vamos a calcular ese límite para confirmar que es infinito.

$$\begin{align}&\lim_{t\to 0+}\left(-\frac{t^{-13}}{13}+\frac{4t^{-11}}{11}-\frac{6t^{-9}}{9}+\frac{4t^{-7}}{7}-\frac{t^{-5}}{5} \right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{t\to 0+}\left(-\frac{1}{13t^{13}}+\frac{4}{11t^{11}}-\frac{6}{9t^9}+\frac{4}{7t^7}-\frac{1}{5t^5}  \right)=\\ &\\ &\\ &\lim_{t\to 0+}\left( \frac{-3465+16380t^2-...}{45045t^{13}} \right)=\\ &\\ &\lim_{t\to 0+}\left( \frac{-3465}{45045t^{13}} \right)=-\infty\\ &\\ &\\ &\text{Luego la integral es}\\ &\\ &k-2(-\infty) = k+2\infty=\infty\end{align}$$

Y con esto queda desmontada la integral loca porque es divergente, no puede calcularse.