La matriz es diagonalizable

Cuando estudiaba siempre me parecieron diabólicos los valores propios, las matrices diagonalizables y el cálculo de la forma canónica de Jordan era lo peor de lo peor.

Hay un teorema que dice que toda matriz simétrica con coeficientes reales es diagonalizable, luego si puedes aplicarlo ya estaría porque esta matriz es simétrica.

Enlace Wikipedia

Si no puedes usar eso, de la teoría se desprende que una matriz es diagonalizable si se cumple una de estas dos condiciones:

1) Todos los valores propios tienen multiplicidad 1

2) Hay algún valor propio con multiplicidad mayor de 1 pero el subespacio generado por ese valor propio tiene la dimensión de la multiplicidad.

Podrían resumirse en la segunda diciendo que:

El subespacio propio asociado a cada valor propio tiene la misma dimensión que la multiplicidad del valor propio. Aunque yo prefiero no simplificar.

$$\begin{vmatrix}
5-x &0 &3\\
0 &4-x &0\\
3 &0 &5-x
\end{vmatrix}=0
\\
(5-x)(4-x)(5-x)-9(4-x)=0
\\
(4-x)(x^2-10x+25-9)=0
\\
(4-x)(x^2-10x+16    )=0
\\
(4-x)(x-8)(x-2)$$

Luego los valores propios son 2,4 y 8, todos distintos (todos de multiplicidad 1) y por o tanto es diagonalizable.

Y eso es todo.