Ejercicio de curvatura 4

Lo haremos como el otro pero el producto vectorial no lo haremos escribiendo determinante que el editor de ecuaciones se vuelve medio tonto cuando se le introducen matrices o determinantes. También llamaré r a lambda.

$$\begin{align}&r(t) = (lnt,t,t^2)\\ &\\ &r'(t) = \left(\frac 1t,1,2t  \right)\\ &\\ &r''(t) = \left(\frac {-1}{t^2},0,2  \right)\\ &\\ &||r'(t)\times r''(t)|| = \sqrt{2^2+\left(-\frac 2t-\frac 2t\right)^2+\left(\frac{1}{t^2}\right)^2}=\\ &\\ &\frac{\sqrt{4t^4+16t^2+1}}{t^2}\\ &\\ &\\ &\\ &||r'(t)||^3=\sqrt{\left(\frac{1}{t^2}+1+4t^2\right)^3}=\\ &\\ &\sqrt{\frac{(1+t^2+4t^4)^3}{t^6}}= \frac{\sqrt{(1+t^2+4t^4)^3}}{t^3}\\ &\\ &\\ &K(t)=\frac{\sqrt{4t^4+16t^2+1}}{t^2} \div \frac{\sqrt{(1+t^2+4t^4)^3}}{t^3}=\\ &\\ &\frac{t \sqrt{4t^4+16t^2+1}}{\sqrt{(1+t^2+4t^4)^3}}\\ &\\ &\\ &K(1)=\frac{1 \sqrt{21}}{\sqrt{6^3}}=\frac 16 \sqrt{\frac{3·7}{6}}=\frac 16 \sqrt {\frac 72}\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.