Calculo de la masa de una solido tridimensional.
cordial saludo valeroasm. En el siguiente ejercicio me piden hallar la masa del solido delimitado por las superficies cilíndricas que allí mencionan.empezando porque no se hacer el dibujo y ya te podrás imaginar el resto. Necesito que me ayudes a resolverlo, como es eso que la densidad en cada punto es proporcional a la distancia al eje de simetría y como se cual es el eje de simetría.aquí te lo dejo
muchas gracias por tu atención.
1 Respuesta
Lamentablemente en dos años y pico que llevo respondiendo preguntas, no he dado con un program que sepa manejar y me haga gráficas de funciones en 3D de manera aceptable. Así que habrá que echarle imaginación. Bueno, el programa me deja dibujar 2 funciones, pero no 4 como haría falta.
x^2+y^2 = 4
x^2+y^2 = 1
Son la pared lateral dos cilindros verticales, lo que cuenta es lo que hay entre los dos, como si fuera el cristal de un vaso grueso.
z=4-x^2-y^2
z=x^2+y^2
son dos cubiertas generadas por una parábola girando sobre su eje.
La primera tiene el vértice arriba y va hacia abajo, la segunda tiene forma de U.
A falta de poder ver las cuatro juntas será interesante averiguar dónde se cortan los dos paraboloides circulares
4-x^2-y^2=x^2+y^2
2x^2+2y^2 = 4
x^2+y^2=2 (es una circunferencia de radio sqrt(2))
Esto quiere decir la circunferencia de corte está entre los dos cilindros. Habrá una parte donde el paraboloide superior sea uno y otra donde lo sea el otro.
Para estas integrales lo apropiado es usar coordenadas cilíndricas
La parte exterior tendrá por dominio en cilíndricas
sqrt(2) <= rho <= 2
0 <= theta <= 2Pi
4-x^2-y^2 <= z <= x^2+y^2
Esto último hay que pasarlo a cilíndricas con el cambio
x = rho·cos(theta)
y = rho·sen(theta)
4 - (rho)^2 <= z <= (rho)^2
y el jacobiano del cambio de coordenadas es rho
Por otro lado la masa de cada elemento diferencial proporcional a la distancia al eje de simetría. El eje de simetría es el eje Z. Y la distancia al eje Z en cilíndricas es la coordenada rho, luego la diferencial de masa sera rho por la diferencial de volumen.
Entre esta rho y la del jacobiano tendremos un rho^2 en la integral
$$\begin{align}&\int_{\sqrt 2}^2\int_0^{2\pi}\int_{4-\rho^2}^{\rho^2}\rho^2 \,dz \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_{\sqrt 2}^2 \rho^2 \int_0^{2\pi} z|_{4-\rho^2}^{\rho^2} \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_{\sqrt 2}^2 \rho^2\int_0^{2\pi}( 2\rho^2-4) \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_{\sqrt 2}^2 \rho^2 ( 2\rho^2-4)[\theta]_0^{2\pi} \, d\rho=\\ &\\ &2\pi \int_{\sqrt 2}^2 \rho^2 ( 2\rho^2-4)\, d\rho=\\ &\\ &2\pi\left[ 2 \frac{\rho^5}{5}-4 \frac{\rho^3}{3}\right]_{\sqrt 2}^2=\\ &\\ &\\ &\\ &2\pi\left(\frac{64}{5}-\frac{32}{3}-\frac{2·4 \sqrt 2}{5}+\frac{4·2 \sqrt 2}{3}\right) =\\ &\\ &2\pi\left(\frac{192-160-24 \sqrt 2+40 \sqrt 2}{15} \right)=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{32+16 \sqrt 2}{15} \right)\\ &\end{align}$$Solo esto ya es mayor que la respuesta y aun queda por calcular otro trozo: Voy a leer de nuevo el enunciado. Vale, he debido equivocarme, yo he interpretado entre los dos paraboloides y dicen por debajo de uno y encima de otro. Pues justamente el que hemos calculado no sirve. Vamos a calcular el otro que es el que vale.
Los límites de la especie de anillo que se forma son
1 <= rho <= sqrt(2)
0 <= theta <= 2pi
x^2+y^2 <= z <= 4-x^2-y2
Las deducciones son las mismos que antes, entre el jacobiano y la densidad aparece un rho^2 en la integral
$$\begin{align}&\int_1^{\sqrt 2}\int_0^{2\pi}\int_{\rho^2}^{4-\rho^2}\rho^2 \,dz \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_1^{\sqrt 2} \rho^2 \int_0^{2\pi} z|_{\rho^2}^{4-\rho^2} \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_1^{\sqrt 2} \rho^2\int_0^{2\pi}( 4-2\rho^2) \,d\theta\, d\rho=\\ &\\ &\int_1^{\sqrt 2} \rho^2 ( 4-2\rho^2)[\theta]_0^{2\pi} \, d\rho=\\ &\\ &2\pi \int_1^{\sqrt 2} \rho^2 ( 4-2\rho^2)\, d\rho=\\ &\\ &2\pi\left[4 \frac{\rho^3}{3}-2 \frac{\rho^5}{5}\right]_1^{\sqrt 2}=\\ &\\ &\\ &2\pi\left(\frac{4·2 \sqrt 2}{3}- \frac{2·4 \sqrt 2}{5}-\frac 43 + \frac 25\right) =\\ &\\ &2\pi\left(\frac{40 \sqrt 2}{15}-\frac{24 \sqrt 2}{15}- \frac{20}{15}+\frac{6}{15} \right)=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{16 \sqrt 2-14}{15}\right)=\\ &\\ &4\pi\left(\frac{8 \sqrt 2-7}{15}\right)\\ &\end{align}$$Lo mismo que dice la respuesta. Pues perdí mucho tiempo por calcular una zona que no entraba, en realidad era algo más sencillo que todo lo que he hecho, pero complicado. Ten en cuenta que sobra esa parte de la primera integral, pero es que después de todo lo que me costó no iba a quitarla como si no hubiera hecho nada, de los tropiezos también se aprende y es bueno mostrarlos.
Y eso es todo.
valeroasm como hallaste el jacobiano y como sacaste los limites de integración con ro
Es todo teoría de integración en varias variables, debería aparecer en tu libro.
Las coordenadas cilíndricas son
Rho: es el módulo del radio vector de la proyección del punto sobre el plano z=0. O sea, el modulo en polares de la proyección sobre la base.
Theta: es el ángulo del radio vector anterior. Similar al angulo en polares de la proyección sobre la base
z: Es la misma z que en coordenadas cartesianas.
Entonces la teoría dice que el cambio de variables que hay que hacer para pasar un punto en coordenadas cartesianas (x, y, z) a uno en polares (rho, theta, z) es
x = rho·cos(theta)
y = rho·sen(theta)
z = z
Es algo fácil de comprobar y demostrar.
Y el jacobiano es
$$\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial \rho}&\frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z}\\
\frac{\partial y}{\partial \rho}&\frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z}\\
\frac{\partial z}{\partial \rho}&\frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}\\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\cos\theta&-\rho sen\theta & 0\\
sen\theta&\rho \cos\theta & 0\\
0&0 & 1\\
\end{vmatrix}=
\\
\\
=\rho \cos^2\theta+\rho sen^2\theta = \rho$$Y para hallara los límites tienes que tener un poco de método, comprensión de los que son las coordenadas cilíndricas e imaginación espacial.
Tienes que llegar a ver que la figura es un anillo, cuya cara interna es completamente vertical que corresponde al cilindro x^2+y^2=1, eso es un cilindro de radio; cuya cara externa termina en filo donde se interseccionan de los dos paraboloides que es x^2+y^2 = 2, es una circunferencia de radio sqrt(2); y cuyas funciones superior e inferior son los paraboloides, el superior es z=4-x^2-y^2 y el inferior z = x^2+y^2.
Pues todo ese anillo lo tienes que expresar en coordenadas cilíndricas.
Rho es el radio perpendicular al eje z está comprendido entre 1 y sqrt(2) que son los radios de la parte interna y exterior del anillo
Theta depende del angulo del sector circular del anillo, como el anillo está entero va desde el ángulo 0 hasta el ángulo 2Pi
Z se queda igual pero hay que expresarlo en función de rho y theta en lugar de x e y
De
z = x^2 + y^2
hacemos los cambios x=rho·cos(theta) e y=rho·sen(theta) y queda
z = (rho)^2·cos^2(theta) + (rho)^2·sen^2(theta) = (rho)^2
z = (rho)^2
y de z = 4 - x^2 - y^2 llegamos a
z=4 - (rho)^2
Y con todo esto se forma la integral con variables rho, theta y z. Recuerdo que la densidad dependía del radio rho
dm = densidad(rho)·dV = rho·dV
De ahí aparece el otro rho que junto con el del jacobiano hace que sea la integral de (rho)^2
Y eso es todo.
