Preguntas de álgebra
1) ¿Qué pasaría si se permitiera que todos los números reales tuvieran inverso multiplicativo?
2) ¿Qué pasaría si no se cumpliera el axioma de completez o el orden en los números reales?
3) ¿Qué pasaría si se cambiaran los axiomas de campo?
4) Si tenemos dos números reales diferentes, ¿cómo obtendrías otro que estuviese entre los dos originales?
1 Respuesta
Son unas suposiciones un tanto extrañas Necesitaría el libro para ver como se enfoca este tema, las consecuencias pueden ser miles y hay que saber cuáles son las que le interesan.
1) Habría que inventar un inverso para el cero, quizá por similitud a lo que se busca lo llamaríamos infinito oo.
Entonces sería
oo·0 = 1
0·oo = 1
Infinito operado con cualquier otro número no podría ser un número normal ya que entonces sería su inverso y ese numero tendría dos inversos, luego sería
oo·a = a·oo = oo
Con esto se perdería la ley de cancelación
ab = ac <==> b=c
Ya que si a=oo se cumpliría para todo a, b
Este nuevo elemento sumado con otro cualquiera no podría dar un número normal uya que tendría dos inversos, luego la operación suma sería
a+oo = oo+a = oo
Con lo cual también se perdería la ley de cancelación para la suma. Y además se perdería la propiedad distributiva
oo·[a+(-a)] = oo·0 = 1
oo·a + oo(-a) = oo + oo = oo
Si es que lo que no puede ser, no puede ser. Sería desastroso.
Eso es lo que se me ocurre, salvo que me dejes el libro y le den otro enfoque a la pregunta.
Espero la aclaración del libro para los otros apartados, que tampoco estaría mal si los preguntases en una pregunta nueva.
