Distribuciones de probabilidad multivariantes, 5.6 teoremas especiales.

5.81)

La sugerencia que nos dan no debe tener otro sentido que el que que usemos el teorema 5.9, que dice que si tenemos 2 variables aleatorias independientes Y1 e Y2., y dos funciones g(Y1) y g(Y2) que cada es solo de Y1 o Y2 respectivamente, entonces

E[g(Y1)·g(Y2)] = E[g(Y1)]·E[g(Y2)]

Siempre que existan los valores esperados.

En este ejercicio tenemos que Y1 e Y2 son independientes por lo que nos dicen y

g(Y1) = 1 / Y1

h(Y2) = Y2

luego

E(Y2/Y1) = E(Y2) · E(1/Y1)

Vamos a calcularlas

$$\begin{align}&E(Y_2)=\frac 18\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}y_2y_1e^{-(y_1+y_2)/2}dy_2dy_1\\ &\\ &\text{Hay que integrar por partes.  Hagamos:}\\ &\\ &u = y_2 \implies du = dy_2\\ &\\ &dv=e^{-(y_1+y_2)/2}dy_2\implies v =-2e^{-(y_1+y_2)/2}\\ &\\ &E(Y_2)=\frac 18\int_0^{+\infty} -2*y_1 \left(\left[y_2e^{-(y_1+y_2)/2} \right]_0^{+\infty}+\int_0^{\infty}-e^{-(y_1+y_2)/2}dy_2\right)dy_1=\\ &\\ &\frac 18\int_0^{+\infty} -4y_1\left[e^{-(y_1+y_2)/2}\right]_0^{+\infty}dy_1=\frac 12\int_0^{+\infty}y_1e^{-y_1/2}dy1\\ &\\ &\text{De nuevo se integra por partes}\\ &\\ &u = y_1 \implies du=dy_1\\ &\\ &dv=e^{-y_1/2}dy_1 \implies v =-2e^{-y_1/2}\\ &\\ &\\ &E(Y_2)=-\left[ y_1e^{-y_1/2}\right]_0^{+\infty} +\int_0^{+\infty}e^{-y_1/2}dy_1=\\ &\\ &-2\left[ e^{-y_1/2} \right]_0^{+\infty}=2\end{align}$$

Madre mía que complicado lo anterior, me mata a mi este pobre editor de ecuaciones y el usar las variables con subíndices.

Ahora calculamos E(1/Y1)

$$\begin{align}&E(1/Y_1)= \frac 18\int_0^{+\infty}\int_0^{+\infty}e^{-(y_1+y_2)/2}dy_2dy_1 =\\ &\\ &\frac 18\int_0^{+\infty} -2\left[e^{-(y_1+y_2)/2} \right]_0^{+\infty}dy_1=\\ &\\ &\frac 14\int_0^{+\infty}e^{-y_1/2}dy_1 = \frac 14 (-2)\left[ e^{-y_1/2}  \right]_0^{+\infty}=\frac 12\end{align}$$

Y finalmente ya solo queda efectuar la multiplicación:

E(Y2/Y1) = E(Y2)·E(1/Y1) = 2(1/2) = 1

Y eso es todo.