Muestre que la integral de 1 al infinito de [ raíz de(t) / (t+1)^2] dx

Imagino que querías decir diferencial de t, si no carece de todo de sentido

Hagamos primero la integral indefinida.

$$\begin{align}&I=\int \frac{\sqrt t }{(t+1)^2}dt=\\ &\\ &u=\sqrt t\quad du=\frac{dt}{2 \sqrt t}\quad \\ &\\ &dt=2 \sqrt t du = 2udu\\ &\\ &\\ &= \int \frac{2u^2}{(u^2+1)^2}du\\ &\\ &\\ &\frac{2u^2}{(u^2+1)^2}=\frac{au+b}{(u^2+1)^2}+\frac{cu+d}{u^2+1}\\ &\\ &\\ &2u^2 = au+b +cu^3+cu+du^2+d\\ &2u^2=cu^3+du^2+(a+c)u+d+b\\ &\\ &c=0\\ &d=2\\ &a+c=0 \implies a=0\\ &d+b=0 \implies b=-2\\ &\\ &I=-2\int \frac{du}{(u^2+1)^2}+2 \int \frac{du}{u^2+1}\\ &\\ &\text{La difícil es la primera}\\ &\\ &\int \frac{du}{(u^2+1)^2} =\\ &\\ &u=tgz \quad du=(1+tg^2z)\; dz\\ &\\ &\\ &=\int \frac{1+tg^2z}{(tg^2z+1)^2}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{1}{1+tg^2z}dz=\int \cos^2z\;dz=\\ &\\ &\\ &\int \left(\frac 12 + \frac{\cos 2z}{2}\right)dz=\\ &\\ &\frac z2+\frac{sen 2z}{4}=\\ &\\ &\frac{arctg\;u}{2}+\frac{senz·cosz}{2}=\\ &\\ &\frac{arctg\;u}{2}+\frac{\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}·\frac{1}{\sqrt{u^2+1}}}{2}=\\ &\\ &\frac{arctg\;u}{2}+\frac{u}{2(u^2+1)}\\ &\\ &\text{Juntando todo}\\ &\\ &I=-arctg\;u - \frac{u}{u^2+1}+2 arctg\;u=\\ &\\ &arctg\;u-\frac{u}{u^2+1} =\\ &\\ &arctg \sqrt t-\frac{\sqrt t}{t+1}\\ &\\ &\\ &I_0^{\infty}=arctg(\infty)-\frac{\sqrt{\infty}}{\infty}-0+\frac 01=\\ &\\ &\frac{\pi}{2}-0-0-0 =\frac{\pi}{2}\end{align}$$

Siento no haber escrito algún paso intermedio o la parte final bien hecha con los límites escritos con rigor, pero es que es imposible el ordenador ya no podía más, este editor de ecuaciones consume muchos recursos. O mi ordenador no es muy bueno Core I3 370M o el Windows está sobrecargado o el Firefox es malo, ... El caso es qu no se puede hacer más