La integral definida

$$\begin{align}&\int_0^2(xe^{-x^2}+3x^3)dx =\int_0^2(e^{-x^2}+3x^2)xdx=\\ &\\ &t=x^2\quad dt =2xdx\quad xdx = \frac {dt}{2}\\ &\\ &x=0\implies t=0\\ &x=2\implies t=4\\ &\\ &=\int_0^4 (e^{-t}+3t)\frac{dt}{2}=\frac 12 \left[-e^{-t}+\frac{3t^2}{2}  \right]_0^4 =\\ &\\ &\\ &\frac 12\left(-e^{-4}+24+1-0  \right)= \frac{25-e^{-4}}{2}\end{align}$$

Puedes ver que no he deshecho el cambio para computar la integral al final, eso es debido a que a la vez que hice el cambio de variable, también cambie los correspondientes límites de integración con lo cual no es necesario deshacerlo.

Y eso es todo.