Vectores perpendiculares en el plano

Espero me puedan ayudar:


Un punto se mueve de modo que su rapidez es constante; es decir, v(t)*v(t)=c (una constante). Muestre que sus vectores de velocidad y aceleración siempre son perpendiculares entre sí.

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Supongo que en el tema que estudias te habrán dicho cual es la derivada del producto escalar de dos funciones vectoriales. Por si no lo tienes lo demuestro brevemente.

Sean dos funciones

f(t) = f1(t)i + f2(t)j

g(t) = g1(t)i + g2(t)j

f(t) · g(t) = f1(t)g1(t) + f2(t)g2(t)

Vamos a calcular la derivada del producto escalar.

(f(t) · g(t))' = f1'(t)g1(t) + f1(t)g1'(t) + f2'(t)g2(t) + f2(t)g2'(t) =

cambiándolos de orden

= f1'(t)g1(t) + f2'(t)g2(t) + f1(t)g1'(t) + f2(t)g2'(t) =

Los dos primeros son un producto escalar, los dos últimos también

= f '(t) · g(t) + f(t) · g'(t)

O si lo ponemos en la notación de diferenciales

d(f(t) · g(t)) / dt = df(t)/dt · g(t) + f(t) ·dg(t)/dt

Nosotros tenemos que la rapidez es constante, y eso lo has expresado como que el producto escalar consigo mismo del vector velocidad es constante

v(t) · v(t) = c

Derivamos los dos miembros respecto a t

dv(t)/dt · v(t) + v(t) · dv(t)/dt = 0

2[v(t) · dv(t)/dt] = 0

v(t) · dv(t)/dt = 0

El vector aceleración es la derivada del vector velocidad respecto del tiempo, luego

v(t) · a(t) = 0

Como su producto escalar es cero significa que so perpendiculares.

Y eso es todo.

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