Ejercicio de estadística 06
Sean b y c dos números comprendidos entre 0 y 1. Halla la probabilidad de que la ecuación x^2 + 2bx + c = 0 tenga dos raíces reales, en los siguientes casos:
1. Los números son elegidos al azar.
2. La función de densidad conjunta del par (b, c) es:
f(b,c) = {((3(b^2+c^2))/2 ;b?(0,1) ;c?(0,1)
0 ; en el resto
(?=pertenece)
1 respuesta
1. Para que la ecuación tenga raíces reales el discriminante debe ser mayor que 0
Sqrt(4b^2-4c) > 0
4b^2 - 4c > 0
b^2 - c > 0
b^2 > c
Si tomamos b como variable independiente la variable dependiente, la probabilidad será el área de la figura formada bajo la función c= b^2 el eje X y las rectas b=0 y b=1. Eso es la integral definida de f(b) = b^2 entre 0 y 1
P(2 raíces reales) =$b^2·db con b€[0,1] = (b^3)/3 entre 0 y 1 = 1/3 - 0 = 1/3
2. Siendo más rigurosos, la probabilidad es la integral doble de la función de densidad en los puntos donde hay dos raíces reales. Lo que pasa es que en el apartado anterior esa función de densidad era 1 y de sencillo que era nos saltamos el primer paso de la integración doble. Aquí ya no es tan fácil y lo haremos todo completo.
P(2raices reales) = (3/2)$$(b^2+c^2) dc db con b€[0,1] y c€[0,b^2] =
integrando respecto a c nos queda (c^3)/3, que evaluado en [0,b^2] nos da (b^6)/3, con lo que tenemos esto
= (3/2)$(b^6)/3 db con b€[0,1] =
= (1/2)(b^7)/7 con b[0,1] = 1/14
Y eso es todo.
un favor, puede aclarar la integración respecto a c, en lo posible pasa a paso, que he tratado de hacerlo pero me sale otro resultado.
y porque haces la evaluación de c en [0,b^2] y no en [0, 1]
Tienes toda la razón. Se me cruzaron los cables y aunque estaba integrando pensaba como si estubiera derivando y despreciaba la b por hacer papel de constante.
P(2raices reales) = (3/2)$$(b^2+c^2) dc db con b€[0,1] y c€[0,b^2] =
integrando respecto a c nos queda
(b^2)c+ (c^3)/3,
que evaluado en [0,b^2] nos da
(b^2)(b^2) + [(b^2)^3]/3 - 0 - 0 =
b^4 + (b^6)/3
con lo que la integral queda así
= (3/2)$[b^4+(b^6)/3] db con b€[0,1] =
(3/2)[(b^5)/5 + (b^7)/(3·7)] con b€[0,1]=
(3/10)b^5 + (1/14)b^7 con b€[0,1] =
3/10 + 1/14 - 0 - 0 =
(21+5)/70 = 26/70 = 13/35
Y eso es todo, siento haberme equivocado, y has estado muy acertado al darte cuenta.
Con respecto a la segunda pregunta, que llegó mientras contestaba la primera. Hay que hacer la evaluación en 0, b^2 porque si c toma un valor superior a b^2 la ecuación ya no tiene respuestas reales, pasan a ser complejas. Nosotros debemos calcular la probabilidad del conjunto de pares (b, c) donde las respuestas son reales.
Si hicieras la integral entre [0,1] y [0,1] ya sabes que te daría 1 por tratarse de una función de densidad lo que integras y no habrías resuelto nada.
