Operaciones con los números reales

Por tener límite L significa que dado cualquier épsilon>0 habrá un elemento N de la sucesión a partir del cual todos los elementos cumplen

|an-L| < epsilon

Y para que sea de Cauchy lo que debe suceder es que las distancia entre dos elementos cualesquiera de la sucesión a partir de cierto N sea menor que epsilon

|An - am| < epsilon para todo n,m > N

Tanteamos un poco la situación

|an - am| = |an - L - am +L| <= |an-L| + |-am+L| = |an-L| + |am-L|

Luego haremos esto: sado un epsilon>0 tomaremos el N que hace que para todo n>N se cumple

|an-L| < epsilon/2

entonces si n, m > N tendremos por lo tanteado antes

|an - am| <= |an-L| + |am-L| < epsilon/2 + epsilon/2 = epsilon

resumiendo

|an - am | < epsilon para todo n,m>N

Luego se cumple que es una sucesión de Cauchy.

Y eso es todo.