Complementando un poco:
Una posibilidad es hacer un cambio de variable:
y = sen(x)
Y sen(x) tiende a cero, cuando x tiende a pi.
Entonces el límite de (1+sen(x))^(1/sen(x)), cuando x tiende a pi, haciendo todas las sustituciones quedaría:
limite de (1+y)^(1/y), cuando y tiende a cero
Y el límite anterior es e.
Otra posibilidad, usando que w^z=e^(zlog(w)):
(1+sen(x))^(1/sen(x)) = e ^[(1/sen(x))log(1+sen(x)]=e^[log(1+sen(x) / sen(x)]
Ahora hacemos y =sen(x) que tiende a cero, cuando x tiende a pi
Haciendo todas las sustituciones, nos queda:
Limite cuando y tiende a cero de:
e^[log(1+y) / y]
Como la exponencial es continua y el limite, cuando y tiende a cero, de log(1+y) / y es uno, entonces el límite anterior es: e
Ahora, que límite, cuando y tiende a cero de log(1+y)/y, es 1, resulta por que nuevamente nos queda:
log(1+y) / y = (1/y) log(1+y) = log{[1+y]^(1/y)} (propiedades del logaritmo)
Y si y tiende a cero, nos queda log(e) = 1
Si no han visto que ese límite es e, me avisas y ponemos la demostración.