Ayuda con inecuacion
Para una población particular de atún, la relación entre el número de hembras "x" y el número de crías "y" que sobreviven hasta la edad madura, está dada por la fórmula . ¿Cuándo el número de hembras es menor o igual que el número de crías que sobreviven?.
$$y=4|5-x|-|x-1|/2$$
1 respuesta
Calculemos los puntos donde x=y, eso determinará unos intervalos donde como la función es continua habrá signo constante en cada uno y comprobaremos en cada uno si se verifica x<y
Luego empezamos haciendo y=x
x = 4|5-x| - |x-1|/2
2x = 8|5-x| - |x-1|
Cada valor absoluto equivale a 2 ecuaciones. Como hay dos valores absolutos, tenemos cuatro ecuaciones.
1ª) SI 5-x>=0 y x-1>=0
entonces los valores absolutos coinciden con el valor interior
2x = 8(5-x) - (x-1)
2x = 40 - 8x - x + 1
2x = 41 -9x
11x = 41
x=41/11
comprobamos que la solución cumple las condiciones iniciales
5-41/11 = (55-41)/11 = 14/11 >= 0 bien
41/11 -1 = 30/11>=0 bien
luego la solución x=41/11 sirve
2ª) Si 5-x >=0 y x-1<0
El primer valor absoluto coincide con el valor interior pero el segundo es elo opuesto
2x = 8(5-x) - (-x+1)
2x = 40 - 8x +x -1
2x = 39 -7x
9x = 39
x = 39/9 = 13/3
Veamos si la solución verifica las condiciones iniciales
5 - 13/3 = 2/3 >=0 bien
13/3-1 = 10/3 >0 mal
luego esta solución no sirve
3ª) Si 5-x<0 y x-1>=0
El primer valor absoluto es el opuesto de su interior y el segundo coincide
2x=8(-5+x) - (x-1)
2x = -40 +8x - x +1
2x = -39 + 7x
-5x = -39
x = 39/5
verificamos si cumple las suposiciones iniciales
5 - 39/5 = -4/5 <0 bien
39/5 -1 = 34/5 >=0 bien
luego la respuesta x=39/5 sirve
4ª) SI 5-x<0 y x-1<0
Ambos valores absolutos son el opuesto del valor interior
2x= 8(-5+x) -(-x+1)
2x = -40+8x +x-1
2x = -41+9x
-7x = -41
x=41/7
Veamos si cumple las suposiciones iniciales
5-41/7 = -6/7 <0 bien
41/7-1 = 34/7 >0 mal
luego esta respuesta no sirve
Entonces hay dos respuestas 41/11 y 39/5
Los valores decimales para comparar las dos cantidades y calcular valores entre ellos son
41/11 = 3.7272...
39/5 = 7.8
luego 41/11 < 39/5 y los intervalos que se definen son
(-oo, 41/11)
(41/11, 39/5)
(39/5, +oo)
Tomemos un valor cualquiera de x en cada intervalo y comprobamos si x<=y mediante la fórmula
y = 4|5-x| - |x-1|/2
1) En (-oo, 39/5) tomamos x=0
y = 4|5-0| - |0-1|/2 = 20 - 1/2 = 39/2
en efecto, se cumple x<y ya que 0 < 39/2 luego
(-oo, 39/5) es parte de la respuesta
2) En (41/11, 39/5) tomamos x=5
y = 4|5-5| - |5-1|/2 = -4/2 = 2
no se cumple x<y ya que 5 es mayor que 2 luego este intervalo no sirve
3) En (39/5, +oo) tomamos x=8
y = 4|5-8| - |8-1|/2 = 12 - 7/2 = 17/2 = 8.5
Luego se verifica x<y
(39/5, +oo) es parte de la respuesta
No olvidemos añadir los puntos 41/11 y 39/5 que forman parte de la respuesta porque x=y siendo la inecuación x<=y
Luego la respuesta completa es
x € (-oo, 41/11] U [39/5, +oo)
x € (-oo, 3.7272...] U [7.8, +oo)
Pero el numero de hembras no puede ser fraccionario ni negativo, luego la respuesta es cuando el número de hembras es:
x = {0,1 , 2 , 3} U {8, 9, 10, 11, ...}
O dicho de otra forma, cuando el número de hembras es distinto de 4, 5, 6 y 7
