Demostrar por definición que lim X?Xo vX=vXo

No se puede usar la v como símbolo de la raíz cuadrada, la v es una variable como otra cualquiera y puede crear confusión- Lo que se usa internacionalmente para referirse a la raíz cuadrada es la función sqrt(x), tendrás que usarlo programas de cálculo, de escritura matemática, de graficación de funciones y muchos más, luego es bueno que lo conozcas.

Entonces lo que pides demostrar por definición es:

lim x-->xo de sqrt(x) = xo

$$\begin{align}&Dado\; \epsilon\gt 0\; debemos\; encontrar\;un\; \delta>0\; tal\; que\\ &\\ &0\lt|x-x_0|<\delta \rightarrow |\sqrt x-\sqrt x_0|<\epsilon\\ &\\ &|x-x_0|=|(\sqrt x+ \sqrt {x_0})(\sqrt x - \sqrt {x_0})|=\\ &\\ &|\sqrt x+ \sqrt {x_0}|·|\sqrt x - \sqrt {x_0}|<\delta\\ &\\ &|\sqrt x - \sqrt{x_0}|< \frac{\delta}{|\sqrt x + \sqrt{x_0}|}=\\ &\\ &\text {como las raíces cuadradas tienen valor positivo}\\ &\\ &=\frac{\delta}{\sqrt x +\sqrt{x_0}}<=\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}\\ &\\ &\\ &\text{hagamos que eso sea }\epsilon\\ &\\ &\frac{\delta}{\sqrt{x_0}}=\epsilon\\ &\\ &\\ &\delta=\epsilon \sqrt{x_0}\end{align}$$

Luego ese es el delta que debemos tomar para el épsilon que nos han dado, de esa forma sucederá que:

$$\begin{align}&\text{Si x cumple}\\ &\\ &0\lt |x-x_0|<\epsilon \sqrt{x_0}\\ &\\ &\text{entonces}\\ &\\ &|x-x_0|=|(\sqrt x+\sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})|=\\ &\\ &|\sqrt x+\sqrt{x_0}|·|\sqrt x - \sqrt{x_0}|\lt\epsilon \sqrt{x_0}\\ &\\ &\text{luego}\\ &\\ &|\sqrt x - \sqrt{x_0}|<\frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{|\sqrt x+\sqrt{x_0}|}=\\ &\\ &\frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}\le \frac{\epsilon \sqrt{x_0}}{\sqrt {x_0}}=\epsilon \implies\\ &\\ &\\ &\lim_{x\to x_0} \sqrt x = \sqrt{x_0}\\ &\\ &\end{align}$$