Ejercicios de triángulos, geometría

Un triángulo equilátero es maravilloso porque coinciden las alturas con las medianas y las bisectrices.

Sea b la base o lado del triángulo

Para calcular la altura la trazamos y el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos, un cateto mide b/2 y la hipotenusa b, aplicamos el teorema de Pitágoras

(b/2)^2 + h^2 = b^2

(b^2)/4 + h^2 = b^2

h^2 = b^2 - (b^2)/4

h^2 = 3(b^2)/4

h = b· sqrt(3) / 2

El área es la base por altura dividido entre 2

A = (b · b · sqrt(3) / 2)/2 = b^2·sqrt(3) / 4

El área nos la dan, la igualamos

b^2 · sqrt(3) / 4 = 200·sqrt(3)·

b^2 sqrt(3) = 800 sqrt(3)

b^2 = 800

b=sqrt(800) = 20sqrt(2) dm

y la altura es por tanto

h = b · sqrt(3) / 2 = 20 sqrt(2)sqrt(3) / 2 = 10 sqrt(6) dm

Es un resultado conocido que la medianas se cortan a a 2/3 de su longitud del vértice. Como la altura de un triángulo equilátero también es mediana tenemos que la distancia es

d = (2/3)10sqrt(6) = 20·sqrt(6) / 3 dm

aproximadamente 24.49489743 dm

Y si no conocemos ese resultado también se puede hallar. La altura que parte de un ángulo de la base es una bisectriz, por lo tanto forma 30º con la base. La mitad de la base, esa altura que viene de abajo y la que viene de arriba forman un triángulo rectángulo, donde se verifica

hipotenusa = (cateto adyacente) / cos alfa

La hipotenusa es la distancia al vértice del ortocentro y el cateto adyacente es la mitad de la base

hipotenusa = (20sqrt(2)/2) / (sqrt(3)/2) = 20sqrt(2) / sqrt(3)

racionalizamos la hipotenusa multiplicando y dicidiendo por sqrt(3)

hipotenusa = 20 sqrt(2)sqrt(3) / (sqrt(3)·sqrt(3)) = 20sqrt(6) / 3 dm

Que como puedes ver es lo mismo que habíamos obtenido antes

Aproximadamente 24.49489743 dm

Y eso es todo.