Dudas en álgebra de vectores
Quisiera que me ayudaran con unas pequeñas dudas que tengo con estos problemas
Con estas demostraciones no se como comenzar intente hacerlo con sus componentes pero no funciono
si a y b son vectores unitarios y & es el angulo entre ellos demostrar que 1/2 Ia-bI= Isen1/2&I
demostrar A.B=1/4 (IA+BI al cuadrado - IA-BIal cuadrado)
II estas dos barras son valor absoluto
Con estas fórmulas no se que método emplear para desarrollarlas
El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de longitud y hace ángulos de 25 grados y 50 con ellos hallar la magnitud de los dos vectores
Hallar un vector unitario que forma un angulo de 45 grados con el vector A=[2,2,-1] y un angulo de 60 grados con B= [0,1,-1]
No importa si me ayudan con un solo problema estaría enormemente agradecido con todos
att álex
Con estas demostraciones no se como comenzar intente hacerlo con sus componentes pero no funciono
si a y b son vectores unitarios y & es el angulo entre ellos demostrar que 1/2 Ia-bI= Isen1/2&I
demostrar A.B=1/4 (IA+BI al cuadrado - IA-BIal cuadrado)
II estas dos barras son valor absoluto
Con estas fórmulas no se que método emplear para desarrollarlas
El vector resultante de dos vectores tiene 30 unidades de longitud y hace ángulos de 25 grados y 50 con ellos hallar la magnitud de los dos vectores
Hallar un vector unitario que forma un angulo de 45 grados con el vector A=[2,2,-1] y un angulo de 60 grados con B= [0,1,-1]
No importa si me ayudan con un solo problema estaría enormemente agradecido con todos
att álex
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Respuesta de pab1
1
Quizás lo haga un poco más largo de lo que debiera ser, pero iré explicando:
1)Demostrar (1/2)Ia-bI= sin(x/2) a, b vectores y x el ángulo entre ellos
Digamos que los vectores están en un plano(la solución es análoga para la dimensión que quieras) Entonces:
a=(x,y) b=(z,w) Como son unitarios, sus módulos están dados por:
(x^2+y^2)^(1/2)=1 (z^2+w^2)^(1/2)=1 (*)
De la definición de producto punto (o escalar)-comprobable con el teorema del Coseno-
IaI*IbI*cos(x)= a.b (x áng entre vectores a y b)
Si reemplazamos (*) en esta definición, queda:
cos(x)=a.b o cos(x)=xz+yw (**)
De las fórmulas de ángulos dobles en trigonometría(compruébalas si quieres), tenemos:
((1-cos(x))/2)^(1/2)=sin(x/2)
=>((1-xz-yw)/2)^(1/2)=sin(x/2) de (**)
Con lo que tenemos que demostrar que
(1/2)*Ia-bI=((1-xz-yw)/2)^(1/2)
pero el módulo del vector a-b es:
Ia-bI=((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)
Luego:
(1/2)*((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)=((1-xz-yw)/2)^(1/2) (***)
Ahora podemos desarrollar el lado izquierdo de (***)y llegar al derecho.
Al hacer esto, TEN EN CUENTA que
x^2+y^2=1 y que z^2+w^2=1 Con esto la demostración queda completa.
2)Demostrar a.b=(1/4)*(Ia+bI^2-Ia-bI^2)
Teniendo en cuenta la anterior demostración, esto es sencillo.
Ia+bI=((x+z)^2+(y+w)^2)^(1/2)
Ia-bI=((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)
Reemplazando esto y recordando cuanto valía el producto punto (o escalar) nos queda:
xz+yw=(1/4)*((x+z)^2+(y+w)^2-(x-z)^2-(y-w)^2)
La demostración es muy simple desarrollando el lado derecho para así llegar al izquierdo. Con esto la demostración queda completa.
Si me vuelves a redactar la segunda parte de tu pregunta, con gusto te puedo ayudar (¿el vector resultante de dos vectores? ¿Quieres decir la suma entre dos vectores?), aunque se tratan con trigonometría y producto punto(o escalar), que es la forma de calcular el ángulo entre dos vectores...
Ojalá te sirva, y si fui muy enredado preguntame de nuevo... eso.
1)Demostrar (1/2)Ia-bI= sin(x/2) a, b vectores y x el ángulo entre ellos
Digamos que los vectores están en un plano(la solución es análoga para la dimensión que quieras) Entonces:
a=(x,y) b=(z,w) Como son unitarios, sus módulos están dados por:
(x^2+y^2)^(1/2)=1 (z^2+w^2)^(1/2)=1 (*)
De la definición de producto punto (o escalar)-comprobable con el teorema del Coseno-
IaI*IbI*cos(x)= a.b (x áng entre vectores a y b)
Si reemplazamos (*) en esta definición, queda:
cos(x)=a.b o cos(x)=xz+yw (**)
De las fórmulas de ángulos dobles en trigonometría(compruébalas si quieres), tenemos:
((1-cos(x))/2)^(1/2)=sin(x/2)
=>((1-xz-yw)/2)^(1/2)=sin(x/2) de (**)
Con lo que tenemos que demostrar que
(1/2)*Ia-bI=((1-xz-yw)/2)^(1/2)
pero el módulo del vector a-b es:
Ia-bI=((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)
Luego:
(1/2)*((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)=((1-xz-yw)/2)^(1/2) (***)
Ahora podemos desarrollar el lado izquierdo de (***)y llegar al derecho.
Al hacer esto, TEN EN CUENTA que
x^2+y^2=1 y que z^2+w^2=1 Con esto la demostración queda completa.
2)Demostrar a.b=(1/4)*(Ia+bI^2-Ia-bI^2)
Teniendo en cuenta la anterior demostración, esto es sencillo.
Ia+bI=((x+z)^2+(y+w)^2)^(1/2)
Ia-bI=((x-z)^2+(y-w)^2)^(1/2)
Reemplazando esto y recordando cuanto valía el producto punto (o escalar) nos queda:
xz+yw=(1/4)*((x+z)^2+(y+w)^2-(x-z)^2-(y-w)^2)
La demostración es muy simple desarrollando el lado derecho para así llegar al izquierdo. Con esto la demostración queda completa.
Si me vuelves a redactar la segunda parte de tu pregunta, con gusto te puedo ayudar (¿el vector resultante de dos vectores? ¿Quieres decir la suma entre dos vectores?), aunque se tratan con trigonometría y producto punto(o escalar), que es la forma de calcular el ángulo entre dos vectores...
Ojalá te sirva, y si fui muy enredado preguntame de nuevo... eso.
Bueno
El vector resultante de los dos vectores si es el vector suma de estos dos vectores que hay en el problema
El vector resultante de los dos vectores si es el vector suma de estos dos vectores que hay en el problema
Vemos que los tres vectores(a, b <-queremos encontrar sus modulos y a+b) forman un triangulo cuyos angulos son x, y, 180-x-y
De la definición del producto escalar:
Ia+bI*IbI*cos(x)=(a+b).b (*)
Con por angulo entre los vects a+b y b
Análogamente:
Ia+bI*IaI*cos(y)=(a+b).a (**)
y
IaI*IbI*cos(180-x-y)=a.b ***
Sabiendo que a.a=IaI^2 y b.b=IbI^2 (compruébalo)y que Ia+bI=30, despejamos de (*) y (**)
1)a.b=IbI*30*cos(x)-IbI^2
2)a.b=IaI*30*cos(y)-IaI^2 y
reemplazamos 1)en ***
IaI*IbI*cos(180-x-y)=IbI*30*cos(x)-IbI^2
si se divide por IbI:
IaI*cos(180-x-y)=30*cos(x)-IbI
entonces:
IbI=30cos(x)-IaI*cos(180-x-y)
analogamente si reemplazamos 2) en *** queda:
IaI=30cos(y)-IbI*cos(180-x-y)
Nos ha quedado un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas IaI y IbI pues ya conocemos los valores de "x" e "y", solo resta despejar para obtener (esto hazlo con paciencia):
IaI=30*(cos(y)-cos(x)*cos(x+y))/(1-cos(x+y)^2)
y
IbI=30*(cos(y)*cos(x+y)-cos(x))/(cos(x+y)^2-1)
Como sabemos los valores de los ángulos, se pueden obtener los módulos de los vectores, dándose así fin al problema.
IaI=13,12 y IbI=23,79
Ando un poco ocupado pero el cuarto te lo mando a la brevedad...
De la definición del producto escalar:
Ia+bI*IbI*cos(x)=(a+b).b (*)
Con por angulo entre los vects a+b y b
Análogamente:
Ia+bI*IaI*cos(y)=(a+b).a (**)
y
IaI*IbI*cos(180-x-y)=a.b ***
Sabiendo que a.a=IaI^2 y b.b=IbI^2 (compruébalo)y que Ia+bI=30, despejamos de (*) y (**)
1)a.b=IbI*30*cos(x)-IbI^2
2)a.b=IaI*30*cos(y)-IaI^2 y
reemplazamos 1)en ***
IaI*IbI*cos(180-x-y)=IbI*30*cos(x)-IbI^2
si se divide por IbI:
IaI*cos(180-x-y)=30*cos(x)-IbI
entonces:
IbI=30cos(x)-IaI*cos(180-x-y)
analogamente si reemplazamos 2) en *** queda:
IaI=30cos(y)-IbI*cos(180-x-y)
Nos ha quedado un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas IaI y IbI pues ya conocemos los valores de "x" e "y", solo resta despejar para obtener (esto hazlo con paciencia):
IaI=30*(cos(y)-cos(x)*cos(x+y))/(1-cos(x+y)^2)
y
IbI=30*(cos(y)*cos(x+y)-cos(x))/(cos(x+y)^2-1)
Como sabemos los valores de los ángulos, se pueden obtener los módulos de los vectores, dándose así fin al problema.
IaI=13,12 y IbI=23,79
Ando un poco ocupado pero el cuarto te lo mando a la brevedad...
Primero obtengamos los vectores unitarios a y b:
Como el módulo de a es (4+4+1)^(1/2)=3
y el módulo de b es (2)^(1/2)
Los vectores unitarios a y b están dados por: (para denotar raíz cuadrada usaré "sqrt"=square root)
a=(2/3 , 2/3, -1/3 )
b=(0, 1/sqrt(2), -1/sqrt(2) )
El vector que queremos encontrar lo llamaremos c
Volviendo a la definición del producto punto y al enunciado del problema, escribimos:
IaI*IcI*cos(45)=a.c
IbI*IcI*cos(60)=b.c
Como los vectores son unitarios y sabemos que el producto punto significa multiplicar componente por componente y luego sumar... sea c=(x, y, z) nos quedan dos ecuaciones:
2/3*x+2/3*y-1/3*z = 1/2*sqrt(2) (*)
y
1/2*sqrt(2)*y-1/2*sqrt(2)*z = 1/2 (**)
Hay una tercera ecuación que se deriva del hecho que c es unitario, esta es:
x^2+y^2+z^2=1 (***)
Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (x, y, z) Solo resta un trabajo algebraico muy sencillo (aunque no muy divertido) para conocer al vector c . De momento nota que nuestra tercera ecuación es cuadrática por lo que habrán dos valores para cada componente del vector c. Esto no es de extrañar, puesto que si cambia el sentido del vector en el espacio, las componentes serán negativas, pero esto no afecta el hecho de que la "flecha" c es de largo 1 y forma los ángulos descritos en el enunciado con los vectores a y b.
En todo caso, si tienes problemas para solucionar el sistema, preguntame de nuevo... eso.
Como el módulo de a es (4+4+1)^(1/2)=3
y el módulo de b es (2)^(1/2)
Los vectores unitarios a y b están dados por: (para denotar raíz cuadrada usaré "sqrt"=square root)
a=(2/3 , 2/3, -1/3 )
b=(0, 1/sqrt(2), -1/sqrt(2) )
El vector que queremos encontrar lo llamaremos c
Volviendo a la definición del producto punto y al enunciado del problema, escribimos:
IaI*IcI*cos(45)=a.c
IbI*IcI*cos(60)=b.c
Como los vectores son unitarios y sabemos que el producto punto significa multiplicar componente por componente y luego sumar... sea c=(x, y, z) nos quedan dos ecuaciones:
2/3*x+2/3*y-1/3*z = 1/2*sqrt(2) (*)
y
1/2*sqrt(2)*y-1/2*sqrt(2)*z = 1/2 (**)
Hay una tercera ecuación que se deriva del hecho que c es unitario, esta es:
x^2+y^2+z^2=1 (***)
Tenemos entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (x, y, z) Solo resta un trabajo algebraico muy sencillo (aunque no muy divertido) para conocer al vector c . De momento nota que nuestra tercera ecuación es cuadrática por lo que habrán dos valores para cada componente del vector c. Esto no es de extrañar, puesto que si cambia el sentido del vector en el espacio, las componentes serán negativas, pero esto no afecta el hecho de que la "flecha" c es de largo 1 y forma los ángulos descritos en el enunciado con los vectores a y b.
En todo caso, si tienes problemas para solucionar el sistema, preguntame de nuevo... eso.
