Geometría analítica

La intersección serán aquellos puntos que cumplan las dos ecuaciones
z=x^2/y^2
4x-8y-z+4=0
Nos queda un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, así que hemos de parametrizar alguna de las variables: elegiremos l y
Sustituyendo la z en la segunda:
4x-8y-x^2/y^2+4=0
4xy^2-8y^3-x^2+4y^2=0
Reordenando
x^2-4y^2*x+8y^3-4y^2=0
Resolviendo la ecuación de segundo grado en x
x=[4y^2+-sqrt(16y^4-4(8y^3-4y^2)]/2
x=[4y^2+-sqrt(16y^4-32y^3+16y^2)]2
x=[4y^2+-sqrt[(16y^2)(y^2-2y+1)]]/2
Pero
y^2-2y+1=(y-1)^2
Luego
x=[4y^2+-4y(y-1)]/2
Tenemos dos soluciones
1º x=(4y^2+4y^2-4y)/2
x=(8y^2-4y)/2
x=4y^2-2y
x=2y(2y-1)
Y z nos quedará
z=x^2/y^2
z=4y^2(2y-1)^2/y^2
z=4(2y-1)^2
Luego nos quedan las curvas
x=2y(2y-1)
z=4(2y-1)^2
con y diferente de cero ( es un polo del conoide)
La gráfica de esta curva es el corte de dos parábolas en 3d en el plano xy y xz. Si tienes algún programa matemático para visualizarlo lo verás mejor
2º La otra solución con el - será
1º x=(4y^2-4y^2+4y)/2
x=4y/2
x=2y
Luego
z=x^2/y^2
z=4y^2/y^2
z=4
Es decir
x=2y
z=4
En este caso no es más que una recta, el corete entre el plano x=2y con el plano z=4
Resumiendo, las soluciones son las curvas
x=2t(2t-1)
y=t
z=4(2t-1)^2
con t diferente de 0
unido a la recta
x=2t
y=t
z=4
Salvo el punto (0,0,4), o sea con t diferente de cero