Diagonalizando una matriz simétrica general

Señores Matemáticos;
En primer lugar quisiera felicitarlos por esta noble y altruista actitud de compartir el conocimiento, tienen todos Ustedes mi más profundo respeto y admiración.
Ahora les cuento de lo mio. Soy Ingeniero eléctrico y me dedico cuando puedo, despues del trabajo, a la investigación de sistemas de potencia. Intentando desarrollar un método para la solución de redes de parámetros asimétricos, me he topado con un problema matemático que no he podido resolver. Debo diagonalizar una matriz general, cuadrada de 3x3 simétrica y con los tres elementos de la diagonal todos iguales. El asunto es que los elementos de la matriz son complejos. De esta forma, la matriz |Z| tiene la siguiente forma;
z11 z12 z13
z12 z11 z23
z13 z23 z11
Yo he intentado resolver el problema y llego a un polinomio característico
det(|Z-aI|) de tercer grado y ahí quedo, no puedo resolverlo.
A todo esto, yo sé que los valores de la diagonal de la matriz diagonalizada (matriz B, ver más abajo) corresponde a los autovalores cuando la matriz es simétrica |Z| con (zij = zji) i<>j. Pero necesito obtener además una matriz |P|.
B = (|P|^-1)x(|Z|)x(|P|)
Si puedes resolver este problema te solicito me envíes la solución en un archivo Word a mi correo [email protected]
Desde ya muy agradecido...
Sinceramente;
Rodrigo Del Canto.
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1 Respuesta

121.025 pts.
Voy a hacer aquí el desarrollo para una matriz de orden 2 de dos formas, y trataré de enviarte al correo el desarrollo de orden 3.
Sólo has de tener en cuenta algunas cosas:
1º El problema consiste en resolver el polinomio característico para obtener los autovalores, independientemente que estemos trabajando con números reales o complejos. Es más al trabajar con números complejos eso nos asegura que la ecuación característica siempre tendrá solución.
2º Una vez que hayamos sacado los autovalores, debemos hallar los autovectores que serán los que conformen la matriz de cambio de base P, de forma que
B = P^-1 * Z * P
Diagonalizemos la matriz simétrica
A b
B a
1º determinantes
Hayamos la ecuación característica
Det (Z-mI)=
a-m b
b a-m = 0
Sumando ambas columnas
a+b-m b
a+b-m a-m
y sacando factor común a+b-m
(a+b-m)*
1 b
1 a-m
Operando nos queda la ecuación
(a+b-m)(a-b-m)=0
quedándonos como autovectores
m1 = a+b
m2 = a-b
Siendo por tanto la matriz diagonal B
a+b 0
0 a-b
Saquemos ahora los autovectores asociados, que serán los que cumplan las ecuaciones
(A - mI)*X = 0
luego
a) m1 = a+b
[-b b][x]=0
[b -b][y]=0
que nos darán las dos ecuaciones
-b*x + b*y = 0
b*x - b*y = 0
Sistema que siempre ha de ser compatible indeterminado ( pues si no la única solución sería la trivial)
y su solución es
x=y
Podemos coger cualquier solución, escogiendo la más sencilla
x=y=1, con lo que el autovector es
v1 = (1,1)
b)m2 = a-b
[b b][x]=0
[-b -b][y]=0
que nos quedará
b*x+b*y = 0
-b*x-b*y = 0
o sea
x= -y
y como antes escogemos
v2 = (1,-1)
Poniendo ahora estos vectores en forma de columnas, conformamos la matriz de cambio P
1 1
1 -1
Y si haces la comprobación
B = P^-1 * M * P
Continua...
Debido a la simetría, a la hora de diagonalizar matrices simétricas, se pueden usar otros métodos como el método de Jacobi.
La teoría nos dice que la diagonalización de una matriz simétrica, es decir, encontrar una B diagonal y una matriz de cambio P, tal que
B = P^-1 * M * P
Resulta que si M es simétrica, P tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, que cumple estas propiedades
Pt = P^-1
Siendo Pt la traspuesta.
Y podemos encontrar un ángulo tal que P sea de la forma
cosA -senA
senA cosA
y por tanto Pt=P^-1
cosA senA
-SenA cosA
Así pues haciendo
B = P^-1 * M * P
[m1 0]=[cosA senA][a b][cosA -senA]
[0 m2]=[-senA cosA][b a][-senA cosA]
Haciendo las multiplicaciones quedan cuatro ecuaciones (una repetida)
m1 = (a*cosA + b*senA)*cosA + (b*cosA + a*senA)*senA
m2 = (-a*senA + b*cosA)*(-senA) + (-b*senA + a*cosA)*cosA
cos^2A - sen^2A = 0
Resolviendo la última, sacamos una solución
m1 = a + b
m2 = a - b
Que llevados a la matiz P tendremos, teniendo en cuenta que sen45º = cos45º = sqrt(2)/2 = 0.707
P será de la forma
0.707 -0.707
0.707 0.707
y los autovectores ´son
v1 = (0.707,0.707)
v2 = (-0.707,0.707)
Pero como los autovectores no son únicos, sino que conforman un subespacio vectorial, podremos coger cualquiera que forme parte de cada subespacio, o sea, cualquiera proporcional a ellos, con lo que si cogemos
v1 = (1,1)
V2 = (1,-1), tendremos que la matriz de cambio P puede ser
1 1
1 -1
Sin ningún cambio en B
Como ves, el hecho que sean a y b complejos no nos afecta.
En el caso de tres dimensiones el desarrollo es un poco más largo.
Puedes mirar información en
http://stark.udg.es/~emili/docent/qtc/pdf/06_diag_pca.pdf
Si bien ahí hacen el desarrollo para cualquier matriz simétrica, sin exigir que los valores de la diagonal sean iguales
Creo que se me cortó algo que no parece claro:
(...cos^2A - sen^2A = 0
Resolviendo la última, sacamos una solución
cos^2 = sen^2A
tg^2A =1
tgA = 1
A = 45º
aunque no es la única, con una nos vale, sustituyendo en las otras, con
senA = cosA = sqrt(2)/2......
Examina bien el mensaje, pues puede haber alguna errata debido a la dificultad de introducir notación matemática.
Solo acabar diciendo que acabo de ver más métodos para resolver el problema, como el método del determinante secular.
Trataré de resolver el caso de orden 3, por el método de Jacobi, pues en ese caso se pierde la simetría para calcular tan fácilmente los autovalores como en el caso de dos dimensiones.
Mikel1970;
Estoy muy agradecido, muy complacido y muy sorprendido con tu respuesta. No tenía idea de que Jacobi tenía un método para diagonailar matrices. Espero puedas enviarme la solución para las matrices de 3x3.
Gracias!
Sinceramente RDC

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