Necesito ayuda para resolver ejercicios matemáticos de trigonometría y espacio numérico

La ecuación de la recta tangente a f(x) en x=a es
y - f(xo) = f '(a)(x - a)
El corte con el eje X será cuando y = 0
- f(a) = f '(a)(x - a)
- f(a) = xf '(a) - a·f '(a)
- f(a) + af '(a) = xf '(a)
x = [af'(a)-f(a)]/f '(a)
el punto de corte es ([af'(a)-f(a)]/f '(a), 0)
El corte con el eje y será cuando x = 0
y - f(a) = f '(a)(- a)
y = f(a) -af '(a)
el punto de corte es (0, f(a) -af '(a))
Nos dicen que (f(a), a) es el punto intermedio de los cortes, luego
2a = [af'(a)-f(a)]/f '(a) ==> 2a = a - f(a)/f '(a) ==> a = -f(a) / f '(a)
2f(a) = f(a) -af '(a) ==> f(a) = -af'(a) ==> a = -f(a) / f '(a)
Vemos que las dos ecuaciones son redundantes, solo podemos valernos de una
pongamosla así
f'(a)/f(a)= -a
Si queremos que esto suceda para todo a vamos a usar la nomenclatura habitual con las funciones en x e y
y'/y = -x
Integramos en ambois lados, a la izquierda ha quedado la derivada perfecta de un ln.
ln(y) = -(x^2) + C
elevamos e a ambos miembros
e^[ln(y)] = e^[-(x^2) + C]
y = e^[-(x^2) + C]
Si llamamos k a e^C quedará de esta otra forma mejor
y = ke^[-(x^2)]
Y eso es todo, como dices que es urgente no me entretengo más

Todo está bien sólo una pequeña duda entonces ¿las curvas que cumplen la condición son la familia de curvas de la forma: que^[-(x^2)] ;/k>0.?[[Digo k>o debido a que k= e^C y esto espositivo]].
Saludos.

La función logaritmo siempre me ha dado guerra con eso de que no hay logaritmos de números negativos. En algunos libros se dice que en realidad la integral
$dx/x es ln |x| + C
Aunque yo siempre me he resistido a usarlo
Con ello el problema queda así:
ln|y| = -(x^2) + C
e^[ln|y|] = e^[-(x^2) + C]
|y| = e^[-(x^2) + C]
|y| = ke^[-(x^2)] con k positivo
El módulo de y si que debe tener que positiva, pero y puede tener que negativa.
Y eso es todo. Dentro de pocos minutos ya tengo que dejar todo y hasta la noche no vuelvo en serio al ordenador.

Bueno creo que esta respuesta ya está más clara entonces, no te preocupes todo el mundo tiene que hacer sus cosas, cuando acabes por favor resuelve mis otras preguntas.
Saludos.

No hagas caso, está mal este problema.
Aquí hay una errata aunque luego se opera correctamente.
"Nos dicen que (f(a), a) es el punto intermedio de los cortes, luego"
Debía decir
"Nos dicen que (a, f(a)) es el punto intermedio de los cortes, luego"
Aquí hay un fallo de bulto:
Pongamosla así
f'(a)/f(a)= -a
Y la hemos puesto al reves,en realidad es
f '(a) / f (a) = -1/a
Con la notación habitual de ecuaciones diferenciales es
y' / y = -1/x
ln|y| = - ln|x| + C
ln|y| = -ln|x| + ln(e^C) = ln ([e^C]/|x|)
llamemos k= e^C con k>0
ln|y| = ln (k/|x|)
|y| = k / |x|
Y todo este lío de módulos no deja ver el bosque, la función puede ser de estas cuatro formas.
y = k/x en R-{0}
y = -k/x en R-{0}
y = -k/x si x <0; k/x si x>0
y = k/x si x <0; -k/x si x>0
Ahora sí, se me había quedado algo en el cuerpo de que no estaba bien hecho y no he podido dejar de pensar hasta que me he puesto a corregirlo desde otro lado. Pero lo dejo ya.