Conjunto numerico( N,Q,Z,I,R)

Aquí ya son preguntas concretas. Intentaré responderlas.
a) Únicamente N tiene primer elemento el 1.
b) Ninguno tiene último elemento
c) N y Z tienen un siguiente para cualquier elemento.
d) Z es el único que cumple. A N le falta tener el anterior al 1.
e) Los conjuntos discretos son los finitos o los infinitos numerables, luego lo son N, Z y QUE por ser numerables.
f) Todos ellos son infinitos.
g) Son numerables N, Z y Q.
h) Son densos Q, I y R porque dados dos elementos distintos cualesquiera siempre podemos hallar un elemeto entre los dos.
En Q y R es obvio, basta tomar (a+b)/2
En I hay que tener en cuenta que dado p/q racional distinto de cero y un múmero a irracional se cumple (p/q)a es irracional. Así por ejemplo, basta con sqrt(2) multiplicado por un adecuado p/q para colar un número irracional entre otros dos.
i) R es completo, los otros no.
Un conjunto POR totalmente ordenado se dice completo si todo subconjunto no vacío con cota superior tiene supremo en el conjunto X. Por ejemplo, el conjunto de los reales es completo, pero el de los racionales no.
Los racionales no. Tomamos el conjunto C={x € Q | x^2 <=2}. El supremo es sqrt(2) y no pertenece a Q.
Los irracionales tampoco. Tomamos C={x € I | x<=2}. El supremo es 2 que no es irracional.
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La relación de orden en Q es así:
Dados a/b y c/d racionales de tal forma que b y c sean positivos, a/b <= c/d si y solo si ad <= bc en Z
Hemos dicho que b y c sean positivos. Eso siempre puede conseguirse, si uno de ellos es negativo, b por ejemplo, multiplicaríamos a y b por -1 para conseguir b positivo. Si c es negativo, multiplicaríamos c y d por -1.
Ejemplos:
6/11 <= 3/5 porque 6·5 <= 3·11 ya que 30 <= 33
-3/4 y -7/9. Como c = -7 es negativo, multiplicamos por -1 el -7 y el 9 para comparar
-3/4 <= 7/-9 porque (-3)(-9) <= 4·7 ya que 27 <= 28.
En I la relación de orden se establece entre sucesiones convergentes a los dos números irracionales. Sean j y que dos números irracionales
Sea a(i) / b(i) una sucesion convergente a j
y c(i) / d(i) una sucesión cnvergente a k
Por ser convergentes habrá un indice n tal que:
|j - a(i) / b(i)| < |j-k| / 2 para todo i > n
y |k - c(i) / d(i)| < |j-k| / 2 para todo i > n
Y a partir de ese n los términos de las sucesiones ya tendrán siempre la misma relación de orden entre si, que será la de los números j y k.
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No me apetecía poner una foto mía actual. Puse esta:

Es una foto de unos primos y una tía. Yo soy el que asoma la cabeza por detrás de la fuente. Será de 1970 a lo mejor.
Y eso es todo. Si tienes alguna duda pregúntala. No olvides puntuar.

Es muy buena la foto, me llamas la atención vos; ¿Qué etarias observando no? Estas con tus cosas, los demás todos están haciendo algo que es fácil de ver por ejemplo los niños excepto vos están mirando alegremente el chorro de agua y tu tía esta preocupada por esa cabecita que aparece en la foto pero ni le importa la fotografía ( ¿quién es?). Vos estas fuera de esa postal algo te llama la atención pero desde otro lugar. Es una foto muy bella, por eso te pregunte por ella.