¿Alguien qué sepa de estadística?

La varianza de dos números es 1 y su media artimética es 8
¿Cuáles son los números?
Necesito ayuda con este problema ya he tratado de resolverlo pero no he podido.
Gracias por su gentil ayuda.
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1 respuesta

Respuesta
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Sean x e y los números. Ponemos las condiciones de media = 8 y varianza = 1
La media es la semisuma y la varianza es el sumatorio de las diferencias con la media elevadas al cuadrado
a) (x+y) / 2 = 8
b) (x-8)^2 + (y-8)^2 = 1
Despejamos y en a)
x+y = 16 ==> y = 16 - x
Desarrollamos la ecuación b)
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 16y + 64 = 1
x^2 - 16x + y^2 - 16y + 127 = 0
Sustituimos y
x^2 - 16x + (16 - x)^2 - 16(16-x) +127 = 0
x^2 - 16x + 256 - 32x + x^2 - 256 +16x +127 = 0
2x^2 - 32x +127 = 0
x = [32 +- sqrt(32^2 - 4·2·127)] / 4
x = [32 +- sqrt(1024 - 1016)] / 4
x = [32 +- sqrt(8)] / 4
x = 8 +- sqrt(2) / 2
Tomamos para x la positiva y ya verás como y será la negativa:
x = 8 + sqrt(2) / 2
y = 16 - x = 16 - (8 +sqrt(2) / 2) = 8 - sqrt(2) / 2
Los valores aproximados son:
x = 8,7071068
y = 7,2928932
La comprobacioón la hacemos exacta con las expresiones:
La media es [8 + sqrt(2)/2 + 8 - sqrt(2)/2] / 2 = 16 / 2 = 8
La varianza es [8 + sqrt(2)/2 - 8]^2 + [8 - sqrt(2)/2 - 8]^2 =
[sqrt(2)/2]^2 + [-sqrt(2)/2]^2 = 2/4 + 2/4 = 1
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hallas entendido. Más que entender de estadística era entender de álgebra. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Muchas gracias por tu respuesta
Yo también ya he conseguido resolver el problema pero me he encontrado con una respuesta distinta a la tuya.
Mis números son 9 y 7
Lo extraño es que haciendo la comprobación ambas respuestas son correctas. Estaré revisando ambas respuestas a ver si consigo alguna explicación.
Saludos.
¡Ay, mil perdones por el despiste!
Se me olvidó de que al final en la varianza hay que dividir por el número de sumandos. Por lo tanto ya te digo que lo mío está mal y paso a hacerlo de nuevo.
a) (x+y) / 2 = 8
b) [(x-8)^2 + (y-8)^2] / 2 = 1 ==> (x-8)^2 + (y-8)^2 = 2
x^2 - 16x + 64 + y^2 - 16y + 64 = 2
x^2 - 16x + y^2 - 16y + 126 = 0
Sustituimos y
x^2 - 16x + (16 - x)^2 - 16(16-x) +126 = 0
x^2 - 16x + 256 - 32x + x^2 - 256 +16x +126 = 0
2x^2 - 32x + 126 = 0
x = [32 +- sqrt(32^2 - 4·2·126)] / 4
x = [32 +- sqrt(1024 - 1008)] / 4
x = [32 +- sqrt(16)] / 4 = (32 +- 4) / 4
x = 8 +- 1
Tomamos para x la positiva y ya verás como y será la negativa:
x = 8 + 1 = 9
y = 16 - x = 16 - 9 = 7
Y es como decías, la respuesta es 7 y 9.
La comprobación de lo mío tenía el mismo fallo que al principio, por lo tanto no estaba bien comprobado. Ahora si se puede comprobar bien:
media = (7 + 9) / 2 = 8
varianza [(7-8)^2 + (9-8)^2] / 2 = (1 + 1) / 2 = 1
Y eso es todo. Perdón de nuevo por el fallo.

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