Problema con ecuaciones cuadráticas

Tengo que dejar ahora el ordenador porque tengo otras cosas muy importantes que hacer. Hasta dentro de unas siete horas no puedo ponerme.
De todas formas este tipo de problema (funciones implícitas) no tengo recuerdos yo de haberlo hecho en mis tiempos. Entonces no sé que es lo que piden exactamente y con que medios se cuenta.
Porque a mí lo primero que se me ocurre es despejar "y" resolviendo la ecuación de segundo grado en y:
y = (- 4 +- sqrt[16+4(4x^2-8x-4)]) / 2
Y estudiar las dos ramas.
Entonces yo no sé si vosotros lo hacéis así o usáis otros métodos.
Si fuera posible dime algo sobre esto para cuando vuelva a poder trabajar.

4x^2 -8x -4 = 4y + y^2
1° paso todo al 1° miembro dejando solo el 4 en el 2°
4x^2 -8x -y^2-4y=4
2°) saco factor común 4 de la x
4(x^2-2x) - (y2 + 4y)= 4
Voy a completar cuadrados, divido los coeficiente lineales entre dos para saber que tengo que agregar pero elevado al cuadrado
me queda asi
4(x^2-2x+1^2) - (y^2+ 4y +2^2)= 4
lo mismo que sume el 1° miembro lo sumo en el segundo
4(x^2-2x+1^2) - (y^2+4y+2^2) = 4+1^2-2^2
como veras se puede escribir asi:
4(x-1)^2- (y+2)^2= ?
No se resolver el segundo miembro, según mis cálculos me daría =1
Ahí quiero que me ayudes ( pinta una hipérbola no)
Por favor revisa lo que te puse y resolveme el segundo miembro. :)

¡Vale! Pensaba que era el típico problema de estudio y hacer la gráfica de una función cualquiera.
Pues está bien lo que has hecho y te has atascado en lo más fácil:
1^2 = 1 al cuadrado = 1
2^2 = 2 al cuadrado = 4
Luego el segundo miembro es = 4 +1 - 4 = 1
Y la ecuación es
4(x-1)^2 - (y+2)^2 = 1
Sí, es un hipérbola.
La ecuación reducida de una hipérbola es
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
De donde por comparación obtenemos:
1 /a^2 = 4
a^2 = 1/4
a = sqrt(1/4) = 1/2
1/b^2 = 1
b = 1
2a = 1 es el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a los focos de cualquier punto de la hipérbola.
El punto medio entre los focos es aquello que se resta a por e y en la ecuación reducida (1, -2)
La recta que une los focos es paralela al eje POR pasando por los focos y el punto medio, es:
y =-2
La distancia entre los dos focos es 2c donde c se calcula a partir de
c^2 = a^2 + b^2 = 1/4 + 1 = 5/4
c = sqrt(5)/2
distancia entre focos = 2c = sqrt(5)
De donde, tomando desde el centro la mitad de distancia hacia la izquierda y la otra mitad hacia la derecha tenemos que los focos son
(1-sqrt(5)/2, -2) y (1+sqrt(5)/2, -2)
Las asíntotas son rectas con pendiente b/a= 1/(1/2) = 2 y -b/a = -2 pasando por el punto medio (1, -2)
Luego las asíntotas son:
y + 2 = 2(x - 1)
y + 2 = -2(x - 1)

Los vértices pueden calcularse despejando y, tal como ponía yo en mi primera contestación
y = (- 4 +- sqrt[16+4(4x^2-8x-4)]) / 2
y = (-4 +- sqrt(16+16x^2 -32x -16)) / 2
y = (-4 +- sqrt(16x^2 - 32 x)) / 2
y = (-4 +- 4sqrt(x^2 -2x)) / 2
y = - 2 +- 2sqrt(x^2 - 2x)
Si lo de dentro de la raíz cuadrada es positivo hay ramas de la hipérbola, si es negativo no hay hipérbola, en donde vale cero están los vértices
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
x = 0 es una solución
x = 2 es la otra
Los vértices son (0,-2) y (2,-2)
Y cuantos puntos necesitemos calcular para hacer el dibujo los podemos obtener de la ecuación
y = - 2 +- 2sqrt(x^2 - 2x)

Y esto es todo. Si necesitas algo más pregúntalo. Si no, puntúa para cerrar la pregunta.

Mil disculpas hay algo que no entiendo mira!
4(x-1)^2 - (y+2)2= 1
¿Qué pasa con el coeficiente factor 4?
Por otro lado cuando yo sumo en el 2° miembro
El 2 lo sumo como -2 porque lo saco del
Paréntesis que esta precedido por el signo -
mi pregunta es -2^2 = -4?
Y (-2)^2 = 4 ahí tengo mi gran problema y con el factor 4
¿Dónde lo pongo y c{omo?
4(x^2-2x1^2) - (y^2+4y +2) = 4+1-2^2
Gracias vale y disculpas por tanta molestia, sera hasta que me digas bastA!

La ecuación canócica de un hipérbola es:
(x^2) / (a^2) - (y^2) / (b^2) = 1
Cuando no está centrada en el (0,0) sino en un punto (c,d) la ecuación es
[(x-c)^2] / (a^2) - [(y-d)^2] / (b^2) = 1
Tu tienes la ecuación 4(x-1)^2 - (y+2)^2= 1
Comparando creo que tendrás claro que
c = 1, d= -2, b = 1
De donde el centro de la hipérbola es (1, -2) como puedes ver en la gráfica.
Ahora comparamos esto
4(x-1)^2 = [(x-1)^2] / (a^2)
para averiguar cuanto vale a.
Simplificando (x-1)^2 queda
4 = 1 / (a^2)
a^2 = 1 / 4
a = sqrt(1/4) = 1/2
Luego
4(x-1)^2 - (y+2)^2= 1
lo podremos escribir en realidad como
[(x-1)^2] / [(1/2)^2] - [(y+2)^2] / (1^2) = 1
Que eso si tiene ya la forma de la ecuación canónica con centro en (1,-2)
En lo de completar cuadrados tu tienes que tener claro que si tenías una igualdad debes dejar una igualdad. Entonces, si sumas algo en un lado también tienes que sumarlo en el otro.
Tenías
4x^2 - 8x -y^2 - 4y = 4
VALE! Paramos aquí! Ahora me doy cuenta que falla todo desde el principio, creía que habías hecho bien lo de completar cuadrados pero estaba mal y la ecuación inicial es distinta y tendremos que empezar de nuevo. Pero ahora tengo que ir a hacerme la comida y luego otras cosas. Cuando pueda empiezo de nuevo con todo el problema.
Siento no haberme dado cuenta del fallo inicial. Espera hasta que lo resuelva en unas horas.
Por si haces algo por tu cuenta te adelanto como será la ecuación. Sumaremos 4 para completar el primer cuadrado de la por y restaremos 4 para el de la y con lo que en el otro lado no es necesario tocar nada porque el resultado total en el primer miembro ha sido cero.
4x^2 - 8x + 4 - y^2 - 4y - 4 = 4
4(x^2 - 2x +1) - (y^2 + 4y + 4) = 4
4(x-1)^2 - (y+2)^2 = 4
Ahora dividimos todo por 4
(x-1)^2 - [(y+2)^2] / 4 = 1
(x-1)^2 - [(y+2)^2] / (2^2) = 1
a = 1
b = 2
Tengo que dejarlo ya. Si quieres continuas tú y me dices hasta donde llegas.