Sistema de ecuaciones 3x3

Resolvamos la ecuación de tres incógnitas por el método de sumar filas multiplicadas por una constante a otras con el fin de anular coeficientes.
1 -3 1 | 1
2  -8   -1        | -1
5   8   a^2-2  | a
En concreto vamos a sumar a la segunda la primera multiplicada por -2 y a la tercera la primera multiplicada por -5
1   -3    1       | 1
0   -2   -3       | -3
0  23  a^2-7  | a-5
Ahora sumaremos a la tercera la segunda multiplicada por 23/2
1 -3 1 | 1
0   -2   -1                    | -3
0 0 a^2-7-3x23/2  | a-5 -3x23/2
Lu última ecuación ha quedado (a^2-83/2)z = a-79/2
Cualquier valor de a que haga al coeficiente de z distinto de cero hará que la ecuación tenga respuesta única y como puedes ver será fácilmente calculable. Según los estudios que tengas a lo mejor sabes que hay respuesta única porque tanto la matriz de coeficientes como la ampliada tendrán el rango máximo.
Denotaremos sqr(a)=raíz cuadrada de a. Y <> significará distinto.
Luego respuesta única si a<>sqr(83/2) y a<>-sqr/83/2)
Si a toma valores sqr(83/2) o -sqr(83/2) se anula el coeficiente de z y tendremos:
0z=sqr(83/2)-79/2<>0  o bien
0z=-sqr(83/2)-79/2<>0
Quedando 0<>0, lo cual es absurdo, luego no habrá ninguna respuesta.
De otra forma, según los estudios cursados, diremos que no hay respuestas porque el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada es 3.
No hay ningún valor de a que haga que hay infinitas respuestas.
Y eso es todo. Espero haberte ayudado y estoy a tu disposición para aclarar dudas. Si no es así, no olvides puntuar la respuesta.