Teorema de Bolzano + Rolle
Hola. Mi nombre es Sara y tengo una duda en el siguiente ejercicio propuesto hoy en clase. Justificar que por = cos por posee una única raíz en el intervalo [0, Pi / 2]. (Por teorema de Bolzano + Rolle).
Se que para que se cumpla el T. Bolzano f(x)=0 en [a,b] y f(a)*f(b)<0 para que haya una raíz. Lo único que se me ocurre en el ejercicio es:
f(x)=cosx -x
Donde:
f(0)=1 >0 y f(Pi/2)= -0,571 <0. Hay un cambio de signo . Mi problema es que no se muy bien los pasos que tengo que seguir. Le agradecería su ayuda. Muchísimas gracias de antemano.
Se que para que se cumpla el T. Bolzano f(x)=0 en [a,b] y f(a)*f(b)<0 para que haya una raíz. Lo único que se me ocurre en el ejercicio es:
f(x)=cosx -x
Donde:
f(0)=1 >0 y f(Pi/2)= -0,571 <0. Hay un cambio de signo . Mi problema es que no se muy bien los pasos que tengo que seguir. Le agradecería su ayuda. Muchísimas gracias de antemano.
Respuesta de canalrev
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Como tu has dicho aplicando el teorema de bolzano en el intervalo [0,PI/2] tenemos al menos una raíz
Vamos a suponer que hay 2 raíces y llegaremos a contradicción, por lo que solo habrá una.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2, tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como la función es continua y derivable, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c perteneciente al intervalo (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
f'(x)= senx-1 pero esa función no se anula nunca en el intervalo (x1, x2) ya que no lo hace en el intervalo (0, PI/2)
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.
Vamos a suponer que hay 2 raíces y llegaremos a contradicción, por lo que solo habrá una.
Si la función tuviera dos raíces distintas x1 y x2, siendo x1< x2, tendríamos que:
f(x1) = f(x2) = 0
Y como la función es continua y derivable, podemos aplicar el teorema del Rolle, que diría que existe un c perteneciente al intervalo (x1, x2) tal que f' (c) = 0.
f'(x)= senx-1 pero esa función no se anula nunca en el intervalo (x1, x2) ya que no lo hace en el intervalo (0, PI/2)
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.
¿Pero no tengo claro cual es esa única raíz ya que en un segundo apartado me pide aproximar dicha raíz mediante biseseccion con un error menor que una décima?. Muchas gracias por responder tan rapido. Un saludo.
No se si quieres hacerlo con radianes o grados
Si es con grados hay que tener en cuenta que cos(x) siempre es menor de 1 por lo que es suficiente con acotar entre 0 y 1
y si vamos dividiendo el intervalo a la mitad siempre nos vamos quedando con el semiintervalo superior hasta que su rango sea menor que una décima que será un punto en el intervalo 0,9 - 1
Si es en radianes el resultado es 0,74 radianes
Si es con grados hay que tener en cuenta que cos(x) siempre es menor de 1 por lo que es suficiente con acotar entre 0 y 1
y si vamos dividiendo el intervalo a la mitad siempre nos vamos quedando con el semiintervalo superior hasta que su rango sea menor que una décima que será un punto en el intervalo 0,9 - 1
Si es en radianes el resultado es 0,74 radianes
