Aplicación de la derivada
Buenas amigo pues e intentado hacer esto de una u otra forma pero me tranqueo y a las finales no llego a nada este es el ejercicio. La curva x^3+y^3-3xy=0, tiene un bucle simétrico a la recta y=x... Me piden graficar y encontrar la altura del triangulo de área máxima inscrita en el bucle que tiene un vértice en el origen de coordenadas y como base un segmento perpendicular a la recta y=x... Bueno amigo espero no ser de mucha molestia haber si me puedes ayudar sino pues no importa es el ultimo que me falta desde ya muchas gracias
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Respuesta de canalrev
1
La recta perpendicular a x=y será de la forma y=-x+a
Para calcular la base hallamos los puntos de corte con la cúbica
y=-x+a
x^3+y^3-3xy=0
de donde
x^3+(a-x)^3-3x(a-x)=0 --> (a+3)x^2-a(a+3)x+a^3=0
es una ecuación de segundo grado en x que resolvemos
x=(a(a+3)+-(a^2·(a+3)^2-4a^3(a+3))^(1/2))/(2(a+3)) =
x=(a(a+3)+-((-3a^3+3a^2)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
x=(a(a+3)+-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
xo=(a(a+3)+(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
yo=(-a(a+3)+(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
x1=(a(a+3)-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
y1=(-a(a+3)-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
Teniendo los dos puntos de corte calculamos la base, que es la distancia entre los dos puntos
distancia((pero, yo),(x1, y1))=((pero-x1)^2+(yo-y1)^2)^(1/2)=
=((2·(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2+ (2·(a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2)^(1/2)=
=(8·((a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2)^(1/2)=
=(2(a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(a+3)=
=(2a^2(-3a+3)/(a+3))^(1/2) es la base.
Para calcular la altura hallamos el punto de corte de las rectas y=x y=-x+a que es (a/2,a/2)
la distancia del punto al origen es la altura
altura=a/2^(1/2)
por lo que el área es
f(a)=2·a/2^(1/2)·(2a^2(-3a+3)/(a+3))^(1/2)=2(a^4(-3a+3)/(a+3))^(1/2)
la función es máxima cuando el interior de la raiz es máximo, por lo que calculo el máximo de la función
g(a)=a^4(-3a+3)/(a+3)
calculamos su derivada y la igualamos a 0
g'(a)=((-15a^4+12a^3)(a+3)+3a^5-3a^4))/(a+3)^2=(-12a^5-36a^4+36a^3)/(a+3)^2
g'(a)=0 --> -12a^5-36a^4+36a^3=0 --> a^5+3a^4-3a^3=0 -->x=0 que da un mínimo ya que el area es 0 y a^2+3a-3=0
a^2+3a-3=0 --> a=(-3+-(21)^(1/2))/2
tiene el máximo en el valor positivo a=(-3+(21)^(1/2))/2
la altura será de a/2^(1/2)= (-3+(21)^(1/2))/2^(3/2)
Para calcular la base hallamos los puntos de corte con la cúbica
y=-x+a
x^3+y^3-3xy=0
de donde
x^3+(a-x)^3-3x(a-x)=0 --> (a+3)x^2-a(a+3)x+a^3=0
es una ecuación de segundo grado en x que resolvemos
x=(a(a+3)+-(a^2·(a+3)^2-4a^3(a+3))^(1/2))/(2(a+3)) =
x=(a(a+3)+-((-3a^3+3a^2)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
x=(a(a+3)+-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
xo=(a(a+3)+(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
yo=(-a(a+3)+(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
x1=(a(a+3)-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
y1=(-a(a+3)-(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3))
Teniendo los dos puntos de corte calculamos la base, que es la distancia entre los dos puntos
distancia((pero, yo),(x1, y1))=((pero-x1)^2+(yo-y1)^2)^(1/2)=
=((2·(a^2(-3a+3)(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2+ (2·(a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2)^(1/2)=
=(8·((a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(2(a+3)))^2)^(1/2)=
=(2(a^2(-3a+3)·(a+3))^(1/2))/(a+3)=
=(2a^2(-3a+3)/(a+3))^(1/2) es la base.
Para calcular la altura hallamos el punto de corte de las rectas y=x y=-x+a que es (a/2,a/2)
la distancia del punto al origen es la altura
altura=a/2^(1/2)
por lo que el área es
f(a)=2·a/2^(1/2)·(2a^2(-3a+3)/(a+3))^(1/2)=2(a^4(-3a+3)/(a+3))^(1/2)
la función es máxima cuando el interior de la raiz es máximo, por lo que calculo el máximo de la función
g(a)=a^4(-3a+3)/(a+3)
calculamos su derivada y la igualamos a 0
g'(a)=((-15a^4+12a^3)(a+3)+3a^5-3a^4))/(a+3)^2=(-12a^5-36a^4+36a^3)/(a+3)^2
g'(a)=0 --> -12a^5-36a^4+36a^3=0 --> a^5+3a^4-3a^3=0 -->x=0 que da un mínimo ya que el area es 0 y a^2+3a-3=0
a^2+3a-3=0 --> a=(-3+-(21)^(1/2))/2
tiene el máximo en el valor positivo a=(-3+(21)^(1/2))/2
la altura será de a/2^(1/2)= (-3+(21)^(1/2))/2^(3/2)
