¿En que consisten los métodos de Newton, Raphson y el de bisección?
Hola quisiera saber si me puedes decir en que consiste el método de newton raphson y el de biseccion. O si no alguna dirección donde lo pueda encontrar.
Te lo agradeceré mucho.
Te lo agradeceré mucho.
1 respuesta
Respuesta de mikel1970
1
Ambos son métodos iterativos para resolver ecuaciones de forma aproximada.
El método de bisección se basa en el teorema de Bolzano (algo así como que para ir de mi casa al bar de abajo he de pasar por el portal), y es un poco la cuenta de la vieja.
Resolvamos la ecuación x^2 = 2 (cuya solución sabemos es x = 1.41421....).
Construimos la función f(x) = x^2 - 2, de forma que la solución de la ecuación es un valor que anula la función. Ahora sólo hay que encontrar dos valores tales que uno de ellos haga la función positiva y el otro negativa. Por ejemplo f(1) = -1 y f(2) = 2. Aplicando el teorema de Bolzano, sabemos que debe existir un valor entre 1 y 2 que anula la función (ya que uno no llega y el otro se pasa). Elegimos el valor central, o sea 0.5 y calculamos f(1.5) = 0.25, y vemos que es positivo. De esta forma, aplicando ahora el teorema de Bolzano al intervalo (1,1.5), puesto que f(1) es negativo y f(1.5) es positivo, y por tanto el valor que hace la función cero está entre ellos. Volvemos a elegir el valor central 1.25, y como f(1.25) = -0.4375, o sea negativo, el valor estará en el intervalo (1.25,1.5).
Repitiendo el proceso varias veces ( ahora calcula f(1.375), y como es negativo, estará entre (1.375,1.5) ), al cabo de unas iteraciones llegarás a un intervalo en el cual los extremos estarán tan próximos que cualquiera de ellos es una buena aproximación.
El método de Newton-Raphson, en lugar de ir acotando el intervalo donde se halla la solución, lo que hace es partir de un punto fijo, y acercarse cada vez más a la solución. La fórmula usada para cada iteración es
x[i+1] = x - f(x)/f'(x)
Siendo
x iteración i
x[i+1] iteración i+1
f(x) = x^2 - 2
f'(x) la derivada de f(x), o sea f'(x) = 2x.
Veamos cómo nos acercamos a la solución.
Primero hay que buscar un punto x0 cercano a donde intuimos que está la solución, por ejemplo x0 = 1
Calculamos la siguiente solución:
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - f(1)/f'(1) = 1- (-1)/2 = 1.5
La segunda iteración será
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.5 - f(1.5)/f'(1.5) = 1.5 - 0.25/3 = 1.417
Con unas pocas iteraciones este método converge rápidamente a la solución.
Por supuesto el ejemplo puesto sólo es a modo de ejemplo, puesto que esta ecuación podemos resolverla mediante métodos analíticos, pero no todas las ecuaciones se pueden resolver mediante estos métodos, por lo cual hay que usar métodos aproximados como el de bisección, Newton-Raphson...
Puedes ampliar todo ésto en esta dirección
http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/Unidad2.htm
El método de bisección se basa en el teorema de Bolzano (algo así como que para ir de mi casa al bar de abajo he de pasar por el portal), y es un poco la cuenta de la vieja.
Resolvamos la ecuación x^2 = 2 (cuya solución sabemos es x = 1.41421....).
Construimos la función f(x) = x^2 - 2, de forma que la solución de la ecuación es un valor que anula la función. Ahora sólo hay que encontrar dos valores tales que uno de ellos haga la función positiva y el otro negativa. Por ejemplo f(1) = -1 y f(2) = 2. Aplicando el teorema de Bolzano, sabemos que debe existir un valor entre 1 y 2 que anula la función (ya que uno no llega y el otro se pasa). Elegimos el valor central, o sea 0.5 y calculamos f(1.5) = 0.25, y vemos que es positivo. De esta forma, aplicando ahora el teorema de Bolzano al intervalo (1,1.5), puesto que f(1) es negativo y f(1.5) es positivo, y por tanto el valor que hace la función cero está entre ellos. Volvemos a elegir el valor central 1.25, y como f(1.25) = -0.4375, o sea negativo, el valor estará en el intervalo (1.25,1.5).
Repitiendo el proceso varias veces ( ahora calcula f(1.375), y como es negativo, estará entre (1.375,1.5) ), al cabo de unas iteraciones llegarás a un intervalo en el cual los extremos estarán tan próximos que cualquiera de ellos es una buena aproximación.
El método de Newton-Raphson, en lugar de ir acotando el intervalo donde se halla la solución, lo que hace es partir de un punto fijo, y acercarse cada vez más a la solución. La fórmula usada para cada iteración es
x[i+1] = x - f(x)/f'(x)
Siendo
x iteración i
x[i+1] iteración i+1
f(x) = x^2 - 2
f'(x) la derivada de f(x), o sea f'(x) = 2x.
Veamos cómo nos acercamos a la solución.
Primero hay que buscar un punto x0 cercano a donde intuimos que está la solución, por ejemplo x0 = 1
Calculamos la siguiente solución:
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - f(1)/f'(1) = 1- (-1)/2 = 1.5
La segunda iteración será
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1) = 1.5 - f(1.5)/f'(1.5) = 1.5 - 0.25/3 = 1.417
Con unas pocas iteraciones este método converge rápidamente a la solución.
Por supuesto el ejemplo puesto sólo es a modo de ejemplo, puesto que esta ecuación podemos resolverla mediante métodos analíticos, pero no todas las ecuaciones se pueden resolver mediante estos métodos, por lo cual hay que usar métodos aproximados como el de bisección, Newton-Raphson...
Puedes ampliar todo ésto en esta dirección
http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad2/Unidad2.htm
