Problema matemático
¿Cuáles son las dimensiones de un bote de forma cilíndrica con tapa, de un decímetro cubico de volumen para que se utilice la mayor cantidad de lamina?
Respuesta de canalrev
1
r: Radio de la base
h: Altura del cilindro
Volumen del cilindro: PI·r^2·h
Área del cilindro: 2·PI·r^2 +2·PI·r·h
PI·r^2·h=1 ---> h=1/(PI·r^2) sustituyendo el la fórmula del área nos queda la ecuación del área en función del radio
f(r)=2·PI·r^2 +2/r
Calculamos su derivada e igualamos a 0 para calcular los mínimos
f'(r)=4·PI·r-2/r^2
f'(r)=0 ---> 4·PI·r-2/r^2=0 ---> 4·PI·r^3-2=0 --->r=(1/2)^(1/3)
Calculamos la derivada segunda
f''(r)=4·PI+4/r^3
f''((1/2)^(1/3))=4·PI+8>0 ---> mínimo
Por lo que el radio es la raiz cúbica de 1/2
la altura h=1/(PI·r^2) ---> h=1/(PI·(1/2)^(2/3))=2^(2/3) / PI
h: Altura del cilindro
Volumen del cilindro: PI·r^2·h
Área del cilindro: 2·PI·r^2 +2·PI·r·h
PI·r^2·h=1 ---> h=1/(PI·r^2) sustituyendo el la fórmula del área nos queda la ecuación del área en función del radio
f(r)=2·PI·r^2 +2/r
Calculamos su derivada e igualamos a 0 para calcular los mínimos
f'(r)=4·PI·r-2/r^2
f'(r)=0 ---> 4·PI·r-2/r^2=0 ---> 4·PI·r^3-2=0 --->r=(1/2)^(1/3)
Calculamos la derivada segunda
f''(r)=4·PI+4/r^3
f''((1/2)^(1/3))=4·PI+8>0 ---> mínimo
Por lo que el radio es la raiz cúbica de 1/2
la altura h=1/(PI·r^2) ---> h=1/(PI·(1/2)^(2/3))=2^(2/3) / PI
