Limite de sucesiones tienden a infinito

Es un ejercicio complejo, ya que la función de la que quieres hacer limite es discreta (solo existe en los números naturales, por lo que no puedes aplicar L'hospital ni ninguno de sus derivados.
Primero haremos el límite de n!/n^n 
n!/n^n es igual al producto para i de 1 a n de i/n. Donde todos los términos del producto son menores de 1 ya que i<n. Por lo que al hacer límite nos queda el producto de infinitos terminos todos menores que 1 que es 0
o si prefieres el limite del producto es el producto de los límites y como i/n tiende a 0 cuando n tiende a infinito tenemos que el producto del limite es 0
Como Lim n!/n^n =0 
Con lo que nos queda el límite 0^0 indeterminación. Lo normal sería realizarlo por L'Hospital, pero no es posible.
Lo intentamos de otra manera
(n!/n^n)^1/n=es igual al producto para i de 1 a n de (i/n)^(1/n)
Lim (n!/n^n)^1/n = Lim del prodcuto = producto de los Lim (i/n)^(1/n)
Calculamos
Lim (i/n)^(1/n) = 0 aplicando L´hopital (aqui si puedo, su dominio es R-0)
Por lo que tenemos el producto de limite de elementos donde tienden a 0 por lo que el producto es 0
por lo que el limite buscado es 0.
Te pongo todos mis razonamientos, por que no estoy seguro de que sean todos válidos.