Derivadas aplicaciones

Suponer que en un centro cívico se realiza un concierto semanal de música clásica. En la actualidad la venta de boletos a 20 dolares atrae a un promedio de 3000 aficionados. Si los precios se elvaran o se reduneran en un 1 dolar. La asistencia promedio disminuiría o aumentaría, respectivamente en 100.
a) Si por representa el aumento en el precio del boleto, determinar los limites naturales para x
b) obtener el ingreso r(x)proveniente del aumento de x en el precio
c) hallar el precio del boleto que maximizara el ingreso
d) considerar que cada aficionado gasta en promedio 4 dolares en lo que se expende allí. Determinar el precio optimo del boleto al agregar esta información
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22.725 pts. RUBEN ORTIZ DEL PINO JR
a.-
y = 3000 + 100x
Si x=1 (cuando disminuye el precio lo considero positivo)
  x=-1 (cuando aumenta el precio lo considero negativo)
0 < 3000 + 100x < =M (capacidad maxima del centro civico)
-30 < x < =(M-3000)/100 entonces en caso critico el aumento de precio debe ser menor a 30 para que por lo menos una persona asista al concierto. Si consideramos un valor para M por ejemplo 5000; x<= 20 la maxima disminucion de precio seria de 20 dolares para no copar la capacidad del lugar.
b) r(x) = (20-x)(3000 + 100x) = 60000 - 1000x - 100x2 (x2 x al cuadrado)
c) dr(x)/dx = -1000 - 200x = 0 entonces x= -5 entonces el precio que maximiza el ingreso es 20 - (-5) = 25 dolares
d) Entonces asumimos que el "precio" seria igual a 20-x +4 = 24 - x entonces:
r(x) = (24-x)(3000 + 100x) = 72000 - 600x - 100x2 (x2 x al cuadrado)
dr(x)/dx = -600 - 200x = 0 entonces x= -3 entonces el precio que maximiza el ingreso es 20 - (-3) = 23 dolares.
En los dos casos la segunda derivada es negativa por lo que los resultados nos dan un máximo (también se puede comprobar con el criterio de la primera derivada crecimiento y decrecimiento).

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