Ejercicio plano osculador numero 6

Como puedes ver en el ejercicio anterior el plano osculador tiene por vector director el vector binormal. Y un vector representante de la dirección del binormal se obtiene con el producto vectorial r'(t) x r''(t)

La función que nos dicen es

$$\begin{align}&r(t) = (a_1t^2+b_1t+c_1 ,\;   a_2t^2+b_2t+c_2 ,\;  a_3t^2+b_3t+c_3)\\ &\\ &r'(t) = (2a_1t + b_1 ,   2a_2t + b_2 ,  2a_3t + b_3)\\ &\\ &r''(t) = (2a_1 ,                 2a_2,              2a_3) \;||\;(a_1,a_2,a_3)\\ &\\ &r'(t)\times r''(t)=\\ &[a_3(2a_2t+b_2)-a_2(2a_3t+b_3)]i+\\ &[-a_3(2a_1t+b_1)+a_1(2a_3t+b_3)]j+\\ &[a_2(2a_1t+b_1)-a_1(2a_2t+b_2)]k=\\ &\\ &(a_3b_2-a_2b_3)i+(a_1b_3-a_3b_1)j+(a_2b_1-a_1b_2)k\\ &\\ &\text{Y el plano osculador será:}\\ &\\ &(x-a_1t^2-b_1t-c_1)(a_3b_2-a_2b_3)+\\ &(y-a_2t^2-b_2t-c_2)(a_1b_3-a_3b_1)+\\ &(z-a_3t^2-b_3t-c_3)(a_2b_1-a_1b_2)=0\\ &\\ &\text{Seguro que los términos en } t^2 \text{y t se simplifican}\\ &\\ &En \;t^2\\ &-a_1a_3b_2+a_1a_2b_3-a_1a_2b_3+a_2a_3b_1-a_2a_3b_1+a_1a_3b_2 =0\\ &En \;t\\ &-a_3b_1b_2+a_2b_1b_3-a_1b_2b_3+a_3b_1b_2-a_2b_1b_3+a_1b_2b_3=0\\ &\\ &\text{Luego la ecuación del plano es}\\ &\\ &(x-c_1)(a_3b_2-a_2b_3)+\\ &(y-c_2)(a_1b_3-a_3b_1)+\\ &(z-c_3)(a_2b_1-a_1b_2)=0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.