Espacios vectoriales y polinomios

Encuentra una base para el subespacio de P_3 (Polinomios de grado menor o igual a tres) generado por los polinomios: p(x) =1-x, q(x)=-x+x2, r(x)=1 + x + x2+x3, s(x)=2-3x+x2.

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5.857.225 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

P_3 es un espacio vectorial de dimensión 4 cuya base canónica es {1, x, x^2, x^3}. Expresemos los polinomios como coordenadas en función de esa base y tendremos vectores como los de R4 con los cuales podremos trabajar en matrices.

1 -1 0 0

0 -1 1 0

1 1 1 1

2 -3 1 0

Y ahora hacemos las operaciones de siempre para obtener un sistema de vectores equivalente pero quizá con alguno menos. A la tercera le restamos la primera y a la cuarta la primera por 2

1 -1 0 0

0 -1 1 0

0 2 1 1

0 -1 1 0

Y ahora la segunda por 2 se suma a la tercera y la segunda se resta a la cuarta

1 -1 0 0

0 -1 1 0

0 0 3 1

0 0 0 0

Y ya no se pueden hacer más filas con todo 0, y si queremos hacer alguno hay otro que deja de serlo, luego ya está bien, las tres filas primeras son un sistema libre y tienen la base que buscamos.

B = {1-x, -x+x^2, 3x^3+x^3}

a mí me gustaría mas cambiando los signos al segundo polinomio

B = {1-x, x-x^2, 3x^3+x^3}

Y eso es todo.

Perdón, escribí mal el tercer polinomio.

B = {1-x, -x+x^2, 3x^2+x^3}
a mí me gustaría mas cambiando los signos al segundo polinomio
B = {1-x, x-x^2, 3x^2+x^3}

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