Problema de Cálculo Integral (Sacar inversa)
Hola Valero:
$$f(x)=\frac{x-1}{x-4}$$a) Determine si existe la inversa en su dominio.
b) Si no existe, restrinja el dominio para que si exista.
c) Halle f^-1(x), si es posible.
d) Halle el dominio y el rango de f y f^-1
Espero tu ayuda
1 Respuesta
a) Dom f = R - {4}
Vemos si es inyectiva, supongamos dos valores a y b tales que f(a) = f(b)
(a-1)/(a-4) = (b-1)/(b-4)
(a-1)(b-4) = (a-4)(b-1)
ab - b - 4a + 4 = ab -a - 4b +4
-b - 4a = -a - 4b
-3a = -3b
a=b
Luego es inyectiva y por lo tanto tiene inversa en todo su dominio.
b) No es preciso restringir tomamos el dominio R-{-4}
c) Hay que despejar x como una función de y
y = (x-1)/(x-4)
y(x-4) = x-4
xy - 4y = x - 4
xy-x = 4y - 4
x = (4y-4) / (y-1)
Y ahora se expresa con la variable x
f?1(x) = (4x-4) / (x-1)
d) El dominio de f?1(x) es R-{1}
Y el rango es el dominio de f
Rang f?1 = R - {4}
Y eso es todo.
Todo bien, solo en esta parte hubo un error:
y = (x-1)/(x-4)
y(x-4) = x-4
xy - 4y = x - 4
Pero no afecto en que le haya entendido :)
Muchas gracias
